Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Часто в изложении мы будем использовать ковариантные компоненты импульса: pi = gijpі.
Введем понятие одночастичной функции распределения для простой системы.
Ее можно определить с помощью случайной функции [5], введенной Ю. Л. Климонтовичем:
N г
N(Xi9Pj) = ? / UsS^xi- х{1}(*))64(ъ-P^(S)). (1.1) Z = I J
Здесь ds = ^gijdxtClxj элемент интервала вдоль траектории частицы, /—номер частицы, SA(z%) — S(Z1)S(Z2)S(Z3)S(Za) — четырехмерная дельта-функция. Суммирование в (1.1) производится по всем частицам системы.
?(/)($) и Pjl\s)—функции, описывающие изменение координат и импульса I -й частицы в зависимости от натурального параметра s. Они определяются из уравнений движения частицы в общей теории относительности (ОТО):
mc^f = ptO- (1-2)
. (і)
mCdT = Г«(*С>(*))РІ%- (1-3)
Здесь Tj17- = gklTi,ij—символы Кристоффеля 2-го рода,
= \(-digij + digij + djgu)-—символы Кристоффеля 1-го рода, digij = ддц/дх%. 10
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Если частицы взаимодействуют не только гравитационно, то в правой части (1.3) добавляются дополнительные силы взаимодействия (электромагнитные и др.)
Функция N(x,p), определенная в каждой системе координат по (1.1), является скаляром в пространстве опорных элементов с координатами хг, pj . Это означает, что при преобразовании координат в пространстве—времени, индуцирующем преобразования импульсов
дх,к
Pj = aJ»'.
функция N'(x',р') в новой системе координат вычисляется следующим образом:
N1(Xiltpjl) = N(Xi(Xil)^pkl). (1.4)
Для доказательства заметим, что ds—инвариант, а произведение 64(хг — xl^)S4(pj — Pj^) также является скаляром (см. упражнение 2):
- *|fc)M4(Pi - pj1)) = - - P?)-
Функцию распределения определим как усредненную по траекториям случайную функцию (1.1):
Ф(*,р) = (ЛГ(*,р)). (1.5)
Функция Ф(х,р) также является скаляром в пространстве опорных элементов.
Выберем некоторую пространственно-подобную гиперповерхность
г (ж*) = const.
Элемент этой гиперповерхности представим как dEj = где
„ У.-Г ,у _ >/=9#Х
ПІ — ———г, аЪ =-—.—.
I Vr I Tiidxt
Здесь g—определитель метрического тензора gij , V,-—оператор ко-вариантной производной [6] в римановом пространстве с метрикой
gij,
Vr I= ^ Vf-T-Vi г, 1.1. Релятивистская кинетическая теория
11
y/^d4x—инвариантный элемент объема в четырехмерном пространстве—времени.
Если система отсчета выбрана так, что т = х4 , и в точке, в окрестности которой рассматривается элемент объема, выполнены соотношения д^ = rjij , где r]ij = diag(—1, -1,-1,+1) —тензор Минковского, то в выбранной системе отсчета (локально лоренцева система отсчета), dEi = Sfd3X (d3x = dxldx2dx3 , Sj—символ Кронекера). Величина
Ф(х, p^dEidP,
где Ut — рг / mc,
dP — ^p — dp\dp2dpzdpA
VzH у/Ч
—инвариантный элемент объема в четырехмерном импульсном пространстве, определяет число частиц, пересекающих элемент гиперповерхности сЕ,- с импульсами pj , заключенными в элементе dP с центром в точке Pj импульсного пространства.
Поэтому поток числа частиц пг определяется как
Ui =J Ф{хур)иЧР, (1.6)
а число частиц, пересекающих элемент da і , есть пгс/Е,-.
В частности, в локально лоренцевой системе отсчета в точке х, число частиц, пересекающих на гиперповерхности х4 = const элемент <Ж , равно п4 d3X .
Но число частиц, пересекающих элемент </Е гиперповерхности X4 = const в четырехмерном пространстве—времени в выбранной системе отсчета, есть с точки зрения трехмерного пространства не что иное, как число частиц, находящих в момент х4 = const в элементе d3X объема трехмерного пространства. Тогда величина п4 есть плотность числа частиц в данной системе отсчета. Аналогичным образом
^Tij = J Ф(X1P)UiPjdP (1.7)
определяет поток импульса, а следовательно, и тензор энергии— импульса Ttj . Импульс, переносимый частицами через гиперповерхность dYii, есть
-TijdZi. с 12
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
В локально лоренцевой системе отсчета величина T44 представляет собой плотность энергии вещества.
Таким образом, мы выяснили физический смысл двух первых моментов функции распределения:
J Ф(x,p)p*dP = men*,
J Ф(x)p)pipjdP = TnTij.
Они пропорциональны потоку числа частиц и тензору энергии— импульса.
Наряду с функцией Ф(я,р) в релятивистской кинетической теории используется функция распределения определенная в семимерном фазовом пространстве с координатами х% и pa . (Здесь и ниже пространственные индексы обозначаются греческими буквами алфавита: а, /?, 7, • • • = 1,2,3 .)
Связь функций Фи/ имеет вид:
Ф(x\Pj) = f{x\pa)S (^J9іjPiPj - тс^ Q(P4)1 (1.8)
где
Є(р4) = 1, р4 > О, Q(P4) = 0, р4 <0.
Дельта-функция в этом определении выражает тот факт, что уравнения движения (1.2), (1.3) допускают первый интеграл
gijp{Ppf = Tn2C2 = const, (1.9)
и, следовательно, функция N, ас нею и Ф отлична от нуля только на массовой поверхности
gijPiPj = Tn2C2. (1.10)
Функция / , введенная в (1.8), инвариантна относительно преобразований координат в пространстве опорных элементов (если ограничиться физически допустимыми системами отсчета [4]):
