Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
27
обращаются в нуль:
P4 = V^, Pa = O. (1.53)
Параметр г связан с углом рассеяния в в системе центра импульсов, который определяется в этой системе формулой
В произвольной системе координат мы введем скаляр в по формуле
cos*= ^(1.55)
(г -PlnPk -Рш
Этот скаляр в системе центра масс совпадает с углом рассеяния. С помощью (1.51), (1.52), (1.54) можно показать, что
cos в — 1 =-^ft. (1.56)
S — Am2Cz
Из приведенных выше соображений следует следующий вид зависимости скорости перехода от импульсов сталкивающихся частиц:
Щр,рі I P',P'i) = sa(8,0)y/^gS(jH +PU -p'i -Vi,), (1.57)
где с —функция энергии и угла рассеяния в системе центра импульсов. Она имеет размерность площади и, как мы сейчас увидим, ее можно назвать дифференциальным сечением.
Поскольку мы рассматриваем одинаковые частицы, величина a удовлетворяет соотношению симметрии
<г(в,0) = <г(«,7Г-0).
В теории рассеяния дифференциальное сечение Aa определяют таким образом, чтобы его произведение на поток числа частиц в начальном состоянии было равно вероятности перехода к единице объема и к единице времени, умноженной на число частиц в начальном состоянии. В локально лоренцевой системе отсчета, в которой скорости частиц параллельны или антипараллельны, этот поток равен произведению плотности числа частиц и относительной скоростиДа = -Ж(Р>Р1 IPV1) * ** (1.59)
28 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
По определению величины w имеем
A(Tf{x,p)A3p I u I= w(p,pi I p^)Z(*,p)A3pAVAVi-
Следовательно, используя (1.46), получим в рассматриваемой системе отсчета
шc^Wm1'^vav- (L58)
I U I P>iP/4Pi ,
Обобщим ковариантно формулу (1.58) на произвольные системы отсчета:
Iw,_ , -/ -Z ч AV aV 1
Здесь
F=^(pip[)2-m4c4 = ^yJs(s-Am2c2). (1.60)
Эту величину называют инвариантным потоком. В локально лоренцевой системе отсчета центра импульсов справедливо соотношение (см. упражнение 4)
(Lei)
где dQ = 2п sin BdB. Это соотношение показывает, что функция <t(s,0), введенная в (1.57), совпадает в системе центра импульсов двух частиц с величиной, которую обычно в теории рассеяния называют дифференциальным сечением рассеяния. При практическом использовании релятивистского кинетического уравнения с интегралом парных столкновений нужно для каждого вида взаимодействия из теории рассеяния взять конкретный вид дифференциального сечения рассеяния в зависимости от угла рассеяния В и энергии s рассеивающихся частиц в системе центра масс, и использовать это выражение в (1.57), понимая под В и s введенные выше скалярные функции.
УПРАЖНЕНИЕ
4. Доказать соотношение (1.61).1.1. Релятивистская кинетическая теория
29
1.1.7 Многокомпонентные системы
Обобщение предыдущего рассмотрения, относящегося к простым системам, на случай смесей не представляет трудностей. Каждый компонент Ь многокомпоненьной системы описывается своей функцией распределения fb(x% ,ра), заданной в семимерном фазовом пространстве. Эти функции должны удовлетворять уравнениям переноса
N
РЇ*іМ*,Рь) = ^Cbai*,Pb), (1-62)
a—I
где члены, учитывающие столкновения, имеют вид:
а -ъ /J^s-х
60 " 7Ьа J V=9Pi J у/~~9Р'ь J V=9P'Aa
X {f'bf'aw(p'b,p'a I PbPа) ~ fbfaW(Pb,Pa | рір'а)}. (1-63)
Здесь через fb обозначена функция fb(x,p'b), через Д обозначена функция /ь(х, Pb) •
Wba(Pb,Pa I Pb у Pa) представляет собой скорость перехода для упругих столкновений между частицами Ь и а.
Множитель 7ba = 1 — \Sba ВВЄДЄН ДЛЯ ТОГО, Чтобы ВЄЛИЧИНа Wba представляла собой скорость перехода как для одинаковых (6 = а), так и различных (а ф Ь) частиц.
В системе кинетических уравнений (1.62), (1.63) учтены лишь эффекты упругих столкновений между различными компонентами смеси.
При релятивистских энергиях, возможно, следует учитывать и неупругие столкновения. Неупругое столкновение—это реакция вида
a + 6 = c + /+ft + ...; (1.64)
в ней рождается две или более частиц, по крайней мере одна из которых отличается от падающих частиц.
Пусть ma, гпь, гас, mj, m^,... - массы частиц. Через
Am = (тс + т f + nib + ••¦)— та — ть. (1.65)
Если величина Am положительна, то реакция не будет происходить ниже определенной энергии падающих частиц, называемой пороговой энергией реакции. Ограничимся рассмотрением реакций,31
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
в которых сохраняется число частиц. Тогда выражение для членов столкновений принимает вид
Сьа = 5 ? / A / 7? / 7^k{fcfdWc«ab -fafbWa" ЫУ
(1.66)
Здесь Wcd\ab—скорость перехода для реакции
с -f d = a + 6, удовлетворяющая свойствам симметрии
Waolcd = Wa6|dc, (1.67)
V^a6jcd = M/6a|cd. (1.68)
Множитель 1/2 в (1.66) учитывает свойство (1.67). Член (1.63), учитывающий упругие столкновения, входит в общее выражение (1.66) как частный случай. Если в системе не происходит никаких реакций, то
Wab\cd = Kab(SacSbd + &ad&bc)Wab. <1.69)
В заключение приведем обобщение кинетического уравнения с учетом квантовых эффектов. Для нерелятивистских систем частиц оно получено в работах [14]—[16].