Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
P4 у/~9Р4
—инвариант, то С(х,р)—скалярная функция. Для ее нахождения в некоторой точке X пространства—времени введем локально ло-ренцеву систему отсчета в точке X. Тогда в этой точке gij = rjij , Гij = 0. Выбор этой системы отсчета определяется с точностью до преобразований, совпадающих в окрестности рассматриваемой точки с преобразованиями Лоренца. Этот произвол мы используем в дальнейших рассуждениях.24
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Получим вид функции C(XiP) в выбранной системе отсчета. Для этого рассмотрим столкновение между двумя частицами, которые до столкновения имели импульсы, находящиеся в элементах ДЗр и A3pi импульсного пространства, взятых вблизи импульсов ра и р\а соответственно. Пусть после столкновения эти частицы имеют импульсы, находящиеся в элементах A3р' и A3P71 , взятых вблизи точек Pa и Pia импульсного пространства соответственно.
Среднее число таких столкновений в интервале At времени t = X4/с и в элементе пространственного объема A3X вблизи точки Xct пропорционально, согласно гипотезе молекулярного хаоса, следующим величинам:
1) среднему числу частиц в элементе А3р импульсного пространства на единицу объема пространственного объема, а именно
A3pf(xip);
2) среднему числу частиц в элементе Д3рі импульсного пространства на единицу пространственного объема, т.е.
3) интервалам
AVAV1AS.
Коэффициент пропорциональности обозначим через 1
P4PiPf4PtI
W(p,pi \p',pi).
Оба аргумента функции W до и после вертикальной черты могут располагаться в любом порядке.
В итоге число частиц в элементе A4XАЗр фазового пространства, выбывающих за счет столкновений, определяется посредством интегрирования описанного выше числа столкновений по всем значениям Pi > Pf у Pi • Кроме того, мы добавим множитель 1/2, чтобы учесть тот факт, что нельзя различить конечные состояния с импульсами (PfiPi) и (р'іур'). Таким образом, число выбывающих частиц равно
I4 А3р fd3Pl Pd3P1 Г^V1
2 xIrJ "рГJ Zr J "т4-/(а;'р)/(а;'рі)ж(р'рі
(1.42)1.1. Релятивистская кинетическая теория
25
Аналогично, число частиц, прибывающих за счет столкновений в элемент А4хА3р, равно
1 4 Д3р [ Cl3pi Г d3pt Pd3P11 , , ,
2 Pr J ~рГ J Vr J -^rf(x'p)f{x'pi)w(p>pi
1 (1-43)
Таким образом, функция С(х,р) имеет в выбранной системе отсчета вид
с{х'р) = \ IirI^J ^{^P'^.KMPVi IP.pi)-
-f(x,p)f(x,pi)w(p,pi ір'.р'і)}. (1.44)
Из смысла выражения (1.42) нетрудно уяснить, что величина
Ч/Wia I ^,P71JAVAVi, (1.45)
где
MPayPla I Р*уPi*) = , (L46)
представляет собой (в локально лоренцевой системе отсчета в точке X) отнесенную к единице пространственного объема и единице времени вероятность перехода для двух частиц, которые. имели до рассеяния импульсы р и р\, а после рассеяния—импульсы р' и р[ с ошибкой ДЗр' и A3P71 соответственно. В произвольной системе отсчета функцию W(p, pi I р\р[) определим как скалярную функцию. Явный ее вид в произвольной системе нетрудно установить, если MbI будем знать вид ее в некоторой локально лоренцевой системе отсчета.
Вид скалярной функции С(х,р) в произвольной системе отсчета следующий:
с{х'р)=5 / / 7?* /
X [f{x,p')f(XtP11)W(P1tP11 \р,рі) - f{x,p)f(x,pi)W(p,p! Ip',Pi)}.
(1.47)
Действительно, в обеих частях равенства (1.47) стоят скалярные функции. В локально лоренцевой системе отсчета, когда <7 = — 1, равенство (1.47) верно, так как оно совпадает с доказанным равенством (1.44). Поэтому равенство (1.47) справедливо в произвольной системе26
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
отсчета, а так как х—произвольная точка пространства—времени, то оно справедливо и в любой точке.
Рассуждения предыдущего параграфа показывают, что величина
А4х^р<Ъ/(х,р) (1.48)
P
равна изменению числа частиц в элементе A4XАЗр/р4. В случае без столкновений эта величина равна нулю. При учете столкновений изменение числа частиц в элементе A4XАЗр/р4 равно (1.41). Сравнивая эти два выражения, получим кинетическое уравнение с учетом парных столкновений
Pi^if(XiP)=C(XiP). (1.49)
Функцию С(х,р) будем называть в дальнейшем интегралом парных столкновений. Для простой системы он имеет вид (1.47).
1.1.6 Дифференциальное сечение
Скорость перехода W(p,p\ | р',р[) была определена как скалярная функция, поэтому она является функцией десяти скалярных аргументов, которые можно образовать из четыре-импульсов рг, р', р\ , р[ и метрического тензора gij . Четыре из этих скаляров—заданные параметры в силу условий д%jPiPj = m2c2 . Кроме того, выполняется закон сохранения 4-импульса при парных столкновениях
Vі + Pi = р" + Pi- (1-50)
Таким образом, число свободных параметров сводится к двум. Выберем эти параметры в виде
s = gij(pi+pu)(Pj+Pij), (1.51)
T^gij(Pi-Pfi)(Pj-Ptj). (1.52)
Параметр s, умноженный на с2, представляет собой квадрат энергии системы двух частиц в системе центра импульсов, т. е. в локально лоренцевой системе отсчета, в которой пространственные компоненты полного 4-импульса
р* = р<+Р\=Pii+Р'\1.1. Релятивистская кинетическая теория