Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
(6.4.11)
Умножим теперь скалярно уравнение (6.4.11) на Щ(х, У) и проинтегрируем его по X и у. Используя свойство ортогональности (6.4.6) нормальных мод, имеем
(k\k)fzAk{z) = где
<к\к>* fE*k(x,y)-Ek(x,y)dxdy = J^, </с|ДЕ|/> S fE*k(x, у)'Ае(х, y,z)El(x, y)dxdy.
(6.4.12)
(6.4.13)
(6.4.14)
Поскольку возмущение диэлектрического тензора Afi (х, у, Z) является периодическим по Z, его можно разложить в ряд Фурье:
Ae(x,y,z)= Z у)ехр
т* 0
2ir -im—,—z А
(6.4.15)
где в силу определения величины Afi (X, у, z) в (6.4.1) суммирование ведется по всем т, кроме т = 0.
Подставляя выражения (6.4.13)-(6.4.15) в уравнение (6.4.11), получаем следующие уравнения:
dAk= - A?Lc<r>v<M-m2VA)z,
IPaI і т
dz
(6.4.16) Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
199
в которых коэффициенты связи C^"' определяются следующим образом:
f <*|еи|/> = f /еі(х,у)-є„(х,у)Е,(х, y)dxdy. (6.4.17)
Эти коэффициенты C^"' отражают величину связи между к-й и /-Й модами, обусловленную /я-й фурье-компонентой тензора диэлектрического возмущения.
Уравнения (6.4.16) представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, которые в принципе определяют бесконечное число модовых амплитуд. Однако на практике, особенно вблизи условия резонансной связи, только две моды оказываются сильно связанными и уравнение (6.4.16) сводится к системе двух уравнений относительно двух модовых амплитуд. Под условием резонансной связи мы подразумеваем следующее равенство:
?k-?,-mT=0,
(6.4.18)
где т — целое число. Это условие имеет фундаментальное значение, и мы будем называть его условием продольного фазового синхронизма или просто фазового синхронизма. Условие (6.4.18) является пространственным аналогом закона сохранения энергии в нестационарной теории возмущений, и поэтому его можно называть законом сохранения импульса. Резонансную связь можно объяснить следующим образом. Из уравнения связанных мод (6.4.16) видно, что прирост амплитуды поля к-Vi моды dAk, обусловленный связью с 1-й модой в области между z и z + dz, выражается через т-ю фу-рье-компоненту возмущения диэлектрического тензора:
Wn ^kl
!,Л,ехр
'IAt- A і2
dz.
(6.4.19)
Поскольку амплитуды представляют собой медленно меняющиеся функции координат, выражение (6.4.19) можно проинтегрировать по расстоянию, которое много больше периода Л, но много меньше масштаба изменения амлитуд. Это приводит к следующему выражению для результирующего приращения амплитуды AAk, обусловленного связью с 1-й модой на расстоянии между z и z 4- L через т-ю фурье-компоненту тензора диэлектрического возмущения:
к\ JL»h
ехр
'I/** - Iz
dz.
(6.4.20) і 200
Глава 5
Из этого выражения видно, что модовая связь между к-й и 1-й модами является незначительной, когда условие (6.4.18) при некотором целом т не выполняется. Действительно, в выражении (6.4.20) интеграл не обращается в нуль лишь в том случае, когда аргумент экспоненты равен нулю. Это условие точно совпадает с условием фазового синхронизма (6.4.18).
Таким образом, для изучения распространения электромагнитного излучения в диэлектрической среде с периодическим возмущением можно использовать метод вариации постоянных. Эти ^постоянные» (модовые амплитуды) удовлетворяют уравнениям связанных мод (6.4.16). Для того чтобы между модами /си / имела место сильная связь, должны выполняться два условия. Первым из них является (6.4.18), называемое кинематическим условием. Второе состоит в том, чтобы коэффициенты связи не обращались в нуль. Последнее условие называется также динамическим, поскольку оно зависит от таких характеристик волн, как поляризация и конфигурация моды.
Описанные выше общие свойства модовой связи имеют важное значение, поскольку они позволяют определить, какие процессы могут иметь место и какой вид возмущений требуется для возникновения связи между данной парой нормальных мод. Этот вопрос мы будем рассматривать на протяжении всей настоящей главы на ряде конкретных примеров.
Соотношение (6.4.18) называют также условием Брэгга, поскольку оно совпадает с аналогичным условием для дифракции рентгеновского излучения в кристаллах. В этом случае падающая волна, описываемая плоской волной с пространственной зависимостью ехр( — ік у - i?t), сильно связана с отраженной волной, у которой зависимость от координат имеет вид ехр( — ikvy + i?z). Постоянная ? является составляющей волнового вектора, перпендикулярной соответствующим кристаллическим плоскостям. Из условия (6.4.18) следует, что расстояние Л между кристаллическими плоскостями должно удовлетворять условию
?-(-?) = 2 ? = m^-,
(6.4.21)
или условию
2Л cos в = тХ,
(6.4.22)
поскольку ? = к COS0, где в — угол падения, а т = 1, 2, 3, ... — некоторое целое число. Выражение (6.4.22) представляет собой хоро- Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
201
шо известное условие Брэгга для дифракции рентгеновского излучения. Как уже отмечалось выше, это условие является необходимым, но не достаточным. Интенсивность дифракции зависит от коэффициентов фурье-разложения периодической диэлектрической постоянной и от поляризации волн [выражение (6.4.17)].
