Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Брэгговское отражение представляет собой типичный пример связи между противоположно направленными волнами. В разд. 6.6 мы применим теорию связанных мод для описания оптических свойств брэгговского отражателя. Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
205
6.5. ТЕОРИЯ СВЯЗАННЫХ МОД ДЛЯ ФИЛЬТРОВ ШОЛЬЦА
Фильтры Шольца мы рассмотрели в разд. 5.3, где для изучения их характеристик пропускания использовался метод матриц Джонса. Однако этот формализм не дает четкого представления о физическом механизме действия такой структуры в роли фильтра. В данном разделе для изучения пропускания этих фильтров мы применим теорию связанных мод. Разумеется, эта теория применима лишь к скрещенным фильтрам Шольца, которые представляют собой периодическую структуру. Геометрия этих фильтров изображена на рис. 5.5, а их характеристики были приведены в табл. 5.1.
Пусть W1, п 2 и «з — главные показатели преломления в каждой кристаллической плоскости. Ось распространения z совпадает с осью г (осью с) кристалла и перпендикулярна каждой плоскости. Оси х и у параллельны направлениям пропускания соответственно переднего и заднего поляризаторов. Диэлектрический тензор в главных координатах кристаллических плоскостей имеет вид
2 "Т 0 0
в = ?0 0 п\ 0
,0 0 п\
(6.5.1)
где C0 — диэлектрическая проницаемость вакуума. Пусть ф — угол, который составляют оси кристалла с координатными осями х и у (рис. 6.10). Тогда диэлектрический тензор в системе координат х, у, z записывается в виде
Є = ?0К(ф)
где
Я(ф)
' COS ф sin ф 0
0
'3
я-'(Ф),
(6.5.2)
- sin ф 0 ' cos ф 0 0 1
(6.5.3)
R — матрица вращения, для которой Я~](ф) = Ri-ф).
Диэлектрический тензор (6.5.2) можно представить в виде следующей суммы:
е = е0 + Де, (6.5.4) і 206
Глава 5
РИС. 6.10. Азимутальный угол где е0 дается выражением
0 о\
E0 = ?0 0 п\ 0
I0 0 "з
a Ae имеет вид
(6.5.5)
Ae = e0("22-"i)
Sin2Ip - sin ф COS ф
о
— sin Ф COS ф О - surty О О О
(6.5.6)
Поскольку разность п\ — п\ обычно мала по сравнению с п\ 2, Ae можно рассматривать как малое возмущение диэлектрического тензора. В структуре фильтра Шольца значение азимутального угла ф колеблется в пределах от р до —р. Следовательно, возмущение Ae диэлектрического тензора является периодической функцией от г. Однако диагональные элементы тензора Ae остаются постоянными на протяжении фильтра и поэтому не входят в периодически изменяющуюся часть диэлектрического тензора. Если эти диагональные члены входят в е0 [выражение (6.5.5)], то в силу их малости по Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
207
сравнению с п\_2 ими можно пренебречь. Таким образом, будем рассматривать (6.5.5) как невозмущенный диэлектрический тензор и предполагать, что периодическое возмущение дается выражением
Де =
0
\{п\ - «2)sin2p 0
" i("2 — "f)sin2P 0
0 о
о О
/(г), (6.5.7)
где/(г) — периодическая прямоугольная функция величины z, определяемая выражением
1, 0 < Z < jA, -1, ЇЛ < Z < Л.
(6.5.8)
Период Л здесь равен удвоенной толщине кристаллической пластинки.
Нормальные моды невозмущенной диэлектрической среды представляют собой линейно-поляризованные плоские волны. Мы ограничимся рассмотрением волн, распространяющихся лишь в направлении z. Таким образом, нормальные моды — это х-поляризован-ная плоская волна е ' ,г и .у-поляризованная плоская волна е 1 * с волновыми числами соответственно к1 и к2, причем
kl2 = -п
1,2-
(6.5.9)
Следует ожидать, что связь имеет место как между одинаково направленными, так и между противоположно направленными модами, в зависимости от того, какой спектральный режим нас интересует. В обычных скрещенных фильтрах Шольца используется связь одинаково направленных мод.
Разложим периодическую функцию f(z) в ряд Фурье:
п ч v /(1 - cos wu-)
f(z) = Y1 —-exP
4 7 „ mir т* О
2 ir im I — I z
(6.5.10)
Подставляя (6.5.10) в (6.5.7), получаем коэффициенты фурье-разло-жения Em для Ae:
0
еш = —^{п22 - nj)sin2p
1
0 0
0'
0
Oi
/(1 — cos mir) mir
(6.5.11) і 208
Глава 5
Из (6.4.26) и (6.4.28) находим постоянную связи к между нормальными модами:
и п\- п] . /'(1 - cos mir) „ , . .
к =---2 sin 2р—-'-. (6.5.12
с тт
Заметим, что связь между четными модами (т = 2, 4, 6, ...) отсутствует, поскольку C111 = 0.
Чтобы получить выражение для характеристик пропускания, вспомним, что начальные условия при г = 0 записываются в виде
Л,(0)= 1,
(6.5.13)
A2(O) = 0,
где A1 — амплитуда х-поляризованной нормальной моды, a A2 — амплитуда ^-поляризованной нормальной моды. Начальные условия определяются передним поляризатором, который пропускает только х-поляризованный свет. Согласно (6.4.30) и (6.5.13), решение уравнений связанных мод (6.4.27) записывается в виде
A1(Z) = еМЬ*
¦ b? ¦
cos sz — I-Z- Sin SZ 2s
(6.5.14)
A2(z) = е~^2>г(-1к*)^^.
где 5 определяется выражением s2 = к*к + (А/3/2)2 [см. (6.4.31)], а A? имеет вид
