Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (6.2.22) имеет вид
= {(Л + D) ± {[ИА + D)]2 - 1}'/2, (6.2.22)
Собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям, являются решениями уравнения (6.2.21) и с точностью до произ- Распространение электромагнитных волн в периодических средах
185
вольной постоянной записываются в виде
(
^0 Ьо
)
(6.2.23а)
Соответствующий собственный вектор-столбец для и-й элементарной ячейки в соответствии с (6.2.20) дается выражением
Елоховские волны, получаемые из уравнений (6.2.23), можно рассматривать как собственные векторы матрицы трансляции с собственными значениями е'кх, даваемыми выражением (6.2.22). Два собственных значения в (6.2.22) являются взаимно обратными, поскольку матрица трансляции унимодулярна. Уравнение (6.2.22) дает дисперсионную зависимость между со, A1 и К для блоховской волновой функции:
Режимы, при которых \(А + D)/2I < 1, отвечают вещественному К и, следовательно, распространяющимся блоховским волнам. Однако в случае I (A + ?))/21 > 1 мы имеем К = тж/А 4- IKj, т. е. в К присутствует мнимая часть K1 и блоховская волна затухает. Эти области отвечают так называемым запрещенным зонам периодической среды. Частоты, отвечающие границам зоны, определяются из условия I (A + ?))/21 = 1.
С помощью (6.2.5) и (6.2.23) блоховскую волну в слое 1 и-й элементарной ячейки можно записать окончательно в виде
где A0 и Ь0 даются выражением (6.2.23а). Следует заметить, что функция внутри квадратных скобок не зависит от п и, стало быть, является периодической с периодом Л. На этом мы завершаем получение решения для блоховской волны.
Дисперсионное уравнение (6.2.24) определяет блоховское волновое число К вдоль направления оси г для блоховской волны с частотой со и .у-составляющую к волнового вектора. Эту дисперсионную зависимость можно представить в виде поверхности в трехмерном пространстве (К, к со). Сечения этой поверхности пло-
(6.2.236)
К(ку,и) = -Urccos + D)].
(6.2.24)
EK{z)e~iKz = [(а0е-,'*"(2-"А) 4- b0eik^z-nK))eiK(z-"K)]e-iKz, (6.2.25) РИС. 6.4. Зонная структура в плоскости лля ТЕ-волн (вектор E перпендикулярен периодически расположенным слоям). Темные области соответствуют разрешенным зонам. Величина ш измеряется в единицах < 'а, а к — в единицах 1 /Л.
РИС. 6.5. Зонная структура в плоскости ^v для TM-волн (вектор H перпендикулярен периодически расположенным слоям). Темные области соответствуют разрешенным зонам. Штриховая линия соответствует к = (aj/c)«2sin(?s; ш — в единицах с/Л, а к — в единицах 1/Л. Распространение электромагнитных волн в периодических средах
187
скостями К = mir/А представляют собой кривые, которые определяют границы зоны. На рис. 6.4 и 6.5 изображены проекции этих кривых на плоскость kfu для ТЕ- и TM-волн соответственно. Заштрихованные области отвечают разрешенным зонам, для которых А является вещественным. Интересно отметить, что «запрещенная» зона для TM-волн сокращается до нуля при ку = = (ш/с)п2ътвв, где 6Ь — угол Брюстера, поскольку при этом угле френелевское отражение на границах раздела исчезает и падающая и отраженная волны оказываются несвязанными. На рис. 6.6 показана эта дисперсионная зависимость а;(А") для частного случая kv = 0 (т. е. случая нормального падения). Ее можно записать в виде
Xln2 п, \
cos KA = cos A:,a cos к2b - —--1--sin кха sin k2b, (6.2.26)
2 \ n, Ti2 J
где А:, = (со/с)и, и к2 = (ш/с)п2.
В случае когда К находится в запрещенной зоне, уравнение (6.2.26) можно решить приближенно. В первой запрещенной зоне ReA' = 7г/А мы положим
KA = -U ± ix. (6.2.27)
Пусть ш0 — центр запрещенной зоны, для которой кха = k2b = Jir. (6.2.28)
Структура с такими условиями называется четвертьволновым элементом. Уравнение (6.2.26) для частоты ш0 принимает вид
Подставляя (6.2.27) в (6.2.29) и решая последнее относительно х, получаем
где приближенное равенство в правой части справедливо при In2-— я,I <a л, 2- Это выражение дает мнимую часть величины KA в центре запрещенной зоны. Внутри запрещенной зоны х изменяется от нуля на границах зоны до ее максимального значения (6.2.30) на частоте соп.
(6.2.29) і 188
Глава 5
2тт
РИС. 6.6. Дисперсионная кривая при ку = 0 (нормальное падение); ш в единицах г/Л, а А" в единицах 1/Л. Пунктирные кривые дают мнимую часть величины К в произвольных единицах.
Пусть у — нормированное отклонение частоты от центра запрещенной зоны со0, т. е.
W-Wn W-Wn
У = --и,а = -°-п7Ъ. (6.2.31)
с с
Подставляя (6.2.27) и (6.2.31) в (6.2.26), получаем 1 1 "2 . nI -_2
Chx= + — jcos2j - sin^ (6 2 32)
Это есть выражение для мнимой части величины KA в запрещенной зоне в зависимости от частоты. Для получения границ зоны нужно положить х=0. При этом получаем
-Уграница = ± * , „' • (6.2.33)
/7 2 ' ** I
Таким образом, ширина запрещенной зоны Acogap в частотном диапазоне дается выражением
Awgap = w0±. !^i ^w0I- (6-2.34)
gap vTT п2 + И, TT п Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
189
в то время как мнимая часть величины KA в центре запрещенной зоны равна
