Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы доказать, что скорость переноса энергии (6.7.8) и групповая скорость (6.7.7) в случае периодических слоистых сред равны друг другу, мы можем воспользоваться результатами, полученными в разд. 6.2, а также выполнить дифференцирование в (6.7.7) и интегрирование в (6.7.8). Интересно показать, что это равенство справедливо в произвольной периодической среде, в том числе и в среде с периодическим двулучепреломлением при условии, что отсутствуют потери. Тензоры электромагнитной восприимчивости вследствие наличия у среды трансляционной симметрии являются периодическими функциями координаты х:
где а — произвольный вектор решетки. Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла
где временная зависимость предполагается в виде elu".
Вследствие трансляционной симметрии среды [и(или) теоремы Флоке; см. выражения (6.1.4) и (6.1.5)] будем предполагать, что волна является блоховской:
Mx) = Mx + a). Mx) = Mx + а) >
(6.7.9)
VXH = ZweE,
(6.7.10)
VXE= -iwftH,
(6.7.11)
E= EK(x)e~iK-*
(6.7.12)
Н = Нк(х),
— /к • x
(6.7.13)
где Ек(х) и Нк(х) — периодические функции: Ец(х) ~ Ек(х + а), Нк(х) = Нк(х +а).
(6.7.14)
Нижний индекс К указывает на то, что функции Ek и Hk зависят от блоховского волнового вектора К. Между Киш существует дис- Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
221
персионная зависимость
« = «(К). (6.7.15)
Усредненный по времени поток энергии электромагнитного поля дается выражением
S = 5 Re[E X H*], (6.7.16)
а усредненная по времени плотность электромагнитной энергии равна
U = ^[E • eE* + H • ftH*]. (6.7.17)
Тензоры электромагнитной восприимчивости предполагаются вещественными. В случае блоховских волн, распространяющихся в периодической структуре, величины S я U являются функциями, периодическими в пространстве.
Определим скорость переноса энергии следующим образом:
ТІ*
d3x
_ s (^L , (6.7.18)
(U)
±fud3x
где интегрирование ведется по элементарной ячейке, а V — объем этой ячейки. Подставляя1 выражения (6.7.12) и (6.7.13) в (6.7.16) и (6.7.17), из (6.7.18) получаем
V = (iRe[EK X Hjfc]) ^6 7 е <і(Ек.еЕ*к + Нк-,Ш*)>'
где скобками < > обозначено усреднение по элементарной ячейке. Групповая скорость V , определяемая как
Vg а Vkw, (6.7.20)
представляет собой вектор, перпендикулярный поверхности волновых нормалей. Подставляя блоховские волны (6.7.12) и (6.7.13) в уравнения Максвелла (6.7.10) и (6.7.11), имеем
V ХНК-/КХНК = iweEK, (6.7.21)
V X Elc - /К X Ek = — /wjuHк.
(6.7.22) гіг
Глава 6
Чтобы показать, что Ye и Yg равны друг другу, будем исходить из уравнений (6.7.21) и (6.7.22). Предположим, что К изменяется на бесконечно малую величину SK. Тогда если доз, 5ЕК и 5НК являются соответствующими изменениями величин оз, Ek и Hk, то после ряда алгебраических преобразований (см. [4]) получаем
Su = Ye- SK. (6.7.23а)
Из определения групповой скорости мы также имеем
Su = ( vK«) • 5К = Vg • ЙК. (6.7.236)
Поскольку 5К — произвольный вектор, мы заключаем, что
Ve = V (6.7.24)
6.8. ДВУЛУЧЕПРЕЛОМЛЕНИЕ ЗА СЧЕТ ФОРМЫ
В предыдущих разделах мы рассмотрели некоторые наиболее важные характеристики блоховских волн, распространяющихся в периодической слоистой среде. Было получено точное выражение (6.2.24) для дисперсионной зависимости между величинами К, ку и оз. На рис. 6.16 эта дисперсионная зависимость представлена графически в виде контуров постоянной частоты в плоскости куК. Можно показать, что эти контуры более или менее похожи на окружности и имеют лишь небольшую эллиптичность. Начало координат отвечает контуру с нулевой частотой. В длинноволновой области (X > Л) они аналогичны дисперсионным кривым для электромагнитных волн, распространяющихся в отрицательных одноосных кристаллах. Рассмотрим теперь двулучепреломляющие свойства периодической слоистой среды. Для более коротких длин волн и около границ зоны Бриллюэна (KA = тж), где длина волны сравнима с размером элементарной ячейки, эти контуры начинают возмущаться и электромагнитные волны сильно взаимодействуют с периодической средой.
Рассмотрим теперь распространение электромагнитных волн в бесконечной среде, состоящей из чередующихся слоев двух различных однородных и изотропных веществ. Хотя каждый отдельный слой изотропный, структура в целом ведет себя как анизотропная среда. Оказывается, что ТЕ- и TM-волны распространяются с разными эффективными фазовыми скоростями и периодическая среда является двулучепреломляющей.
Если период Л достаточно мал по сравнению с длиной волны, то структура в целом ведет себя так, как если бы она была одно- Распространение злекіромагнитньїх волн в периодических средах
223
РИС. 6.16. Контуры постоянной частоты в плоскости куК.
родной и одноосно анизотропной. При этом волна, определяемая выражением (6.2.25), ведет себя как плоская волна (6.7.6).
Изображенные на рис. 6.16 контуры постоянной частоты « в плоскости Kk представляют собой сечения нормальных поверхностей плоскостью Kkv при различных частотах. Из анализа этих кривых очевидно, что в длинноволновом пределе (X > Л) дисперсия слоистой среды качественно аналогична дисперсии отрицательного одноосного кристалла.
