Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
(KiA)max = (6.2.35)
»»2 • " \
где An = In2-W1I ии = (и, + я2)/2. Эти выражения согласуются с выражениями (6.1.31) и (6.1.32), полученными в разд. 6.1. В качестве упражнения читатель может самостоятельно найти коэффициенты фурье-разложения диэлектрической проницаемости для периодической слоистой среды. Ответ записывается следующим образом:
N - 4 (6.2.36)
E0 IT IX1 + «, '
6.3. БРЭГГОВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ
Рассмотрим периодическую слоистую структуру, состоящую из N элементарных ячеек. Геометрия такой структуры изображена на рис. 6.7. Коэффициент отражения дается выражением
(6.3.1)
I aO J ь„-0
и представляет собой отношение комплексной амплитуды Ь0 отраженной волны на входе к амплитуде а0 падающей волны при граничном условии, отвечающем тому, что справа от оптического элемента отсутствует волна, падающая на него (т. е. bN = 0). Из (6.2.15а) мы имеем
'А Ві 1ил,
M с D \Ь
(6.3.2)
Унимодулярную матрицу можно возвести в степень N с помощью следующего матричного тождества [см. (5.3.4)]:
і A B\N (AUn_, -Un_2 BUn_x \
\С D M CUn., DUN.x-UN.2y (6'3J) і 190
Глава 5
РИС. 6.7. Геометрия типичного брэгговекого отражателя, состоящего из N периодов.
где
.. _ sin(iV + 1)?Л
Uff — : ГГ.- у
sm KA
(6.3.4)
а К дается выражением (6.2.24).
Амплитудный коэффициент отражения rN получается из (6.3.1)-(6.3.3):
CUN_X
Г" AUn., -и„_2
(6.3.5)
Коэффициент отражения (задача 6.10) вычисляется как квадрат модуля г N:
12 _ __ |С|2
id2 + (J^JtL)2
' 1 I sin NKA J
(6.3.6)
Таким образом, мы получили аналитическое выражение для коэффициента отражения от многослойного отражателя. Важно иметь в виду, что эта формула для коэффициента отражения справедлива Распространение злекіромагнитньїх волн в периодических средах
191
только для света, падающего из среды с показателем преломления и, (задача 6.11). Величина ICl2 в (6.3.6) непосредственно связана с коэффициентом отражения от единичной элементарной ячейки соотношением
г.{2 = -LS--(6.3.7)
U |С| +1
или
Ktf-T^jI- «-З.Ч
Коэффициент отражения Ir1I2 для типичного брэгговского отражателя обычно много меньше единицы. Поэтому величина ICl2 приблизительно равна IrJ2. Второй член в знаменателе выражения (6.3.6) при больших N представляет собой быстро меняющуюся функцию величины К, или, что то же самое, величин kv и Следовательно, структура спектра отражения определяется главным образом этим членом. Между двумя запрещенными зонами имеется ровно N - 1 узлов, в которых коэффициент отражения обращается в нуль. Максимумы коэффициента отражения имеют место в центрах «запрещенных» зон. Существует также ровно N — 2 побочных максимумов, каждый из которых лежит под огибающей ІСІ2/[ІСІ2 + (sin/ГЛ)2]. На границах зоны KA — mir и коэффициент отражения
M2s--TjT-J- (6-3'9)
|С|2 + (1/N)2
Внутри «запрещенной» зоны величина KA является комплексным числом:
KA = mm+iK,A, (6.3.10)
а формула (6.3.6) для коэффициента отражения принимает вид |С|2
M2 --—-(6.3.11)
2 I sh K1A х |С| + { sh NK1A
При больших N второй член в знаменателе выражения (6.3.11) экспоненциально стремится к нулю как е 2( 1>Д/' . Отсюда следует, 1,0
о 1,0
о 1,о
о 1,0
о 1,0
в - 40°
в =30°
в--го°
л
А
в = io0
А А
в--о°
А А
TT/г
РИС. 6.8. Спектр отражения брэгговского отражателя, имеющего 15 периодов при различных углах падения излучения, а — ТЕ-волны; б — TM-волны. Показатели 1,0
о 1,0
о
1,0
о 1,0
о 1,0
8 = 85*
в = 75°
в = 65'
в = 55»
1
S= 45*
1,0
о 1,0
о 1,0
о
IJO
о 1,0
в = 40*
в = 10°
в = 0°
iL
л.
2тг
It л Л
тг/2
б
Зтг
в =30"
А /
в = 20°
Л А.
А
А
преломления слоев: = 3, 4 и л2 = 3, 6, а толщины слоев выбраны таким образом, чтобы a = b = Л/2. Угол Брюстера вд = 46,6°; ш в единицах с/Л.
13-631 і 194
Глава 5
что для брэгговского отражателя с большим числом периодов коэффициент отражения в запрещенной зоне оказывается порядка единицы.
Структуры зон и коэффициенты отражения для ТЕ- и ТМ-волн не одинаковы. Для TM-волны, падающей под углом Брюстера вв, отраженная волна отсутствует независимо от числа пластинок N.
T-1-1-1-1-1-1--1-г
Длина волны, мкм в
РИС. 6.9. а — микрофотография под сканирующим электронным микроскопом (с увеличением 11 ОООх) тридцати пар слоев GaAs (темные полосы) и Al01Ga07As (светлые полосы), выращенных на подложке из GaAs; б— микрофотография (с увеличением 55 ОООх), показывающая, что среда имеет период Л = 0,185 мкм; в — измеренный спектр отражения света, падающего из воздушной среды [3]. Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
95
Это связано с обращением в нуль динамического множителя ICI2 при значении угла Брюстера.
На рис. 6.8 и 6.9 приведены зависимости коэффициентов отражения для некоторых типичных брэгговских отражателей от частоты и угла падения.
В центре каждой запрещенной зоны период слоистой среды приблизительно равен целому числу световых длин волн. Поскольку при последовательных отражениях от соседних границ раздела свет оказывается сфазированным и, следовательно, интерферирует конструктивно, световые волны будут сильно отражаться. Это явление аналогично брэгговскому отражению рентгеновских лучей от кристаллических плоскостей. Такая высокая отражательная способность была продемонстрирована на брэгговском отражателе, изготовленном из чередующихся слоев GaAs и Al03Ga07As, выращенных на подложке из GaAs методом эпитаксии из молекулярных пучков (рис. 6.9, а). Измеренный коэффициент отражения представлен на рис. 6.9, в и хорошо согласуется с теорией [3].
