Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
а<->\
Г Г
1,2.
(6.2.4) Распространение электромагнитных волн в периодических средах
181
При этом распределение электрического поля в рассматриваемом слое можно записать следующим образом:
Е(у, z) = + b(cc)eikaAz-nA)Je-.,kyy ^
где
mJ-
1/2
а = 1,2.
(6.2.5)
(6.2.6)
Вектор-столбцы не являются взаимно независимыми. Они связаны между собой условиями непрерывности на границах раздела. Вследствие этого только один вектор (или две составляющие различных векторов) могут быть выбраны произвольно. В случае TE-волн (вектор E перпендикулярен плоскости yz) условие непрерывности составляющих Ei и Hy (Hy ~ dEx/dz) на границах раздела (см. рис. 6.3) Z = (п — 1)Л HZ= (п - 1)Л -I- b приводит к следующим уравнениям:
(6.2.7)
'*!,(*»- 1 - *„_,) = Ік2г{еІк^Ся - e-ik^d„), е*г,°сп + e~ik^adn = еік>'"ап + e-ik"ab„,
iklz(eikl'ac„ - e~ik^adn) = ikl2(eik""an - e~ik"abn).
Эти четыре уравнения можно записать в виде системы двух матричных уравнений:
'1 1 1 -1
' PlkIza p-ikjz"
/
1
Tl — 1
І еік1гА
e-ik2!A \ I - \
lLe~iku\
ik2.a _g~ik2za
(
C,
d,
/
iLgik^a _ HAi_e- :k,za
e~ikna
Jh k,
2z л27
где ая = а0\ b„ = Cn = d„ = bp.
/
a
Исключая из этой системы вектор-столбец ричное уравнение
Cl)'
(6.2.8)
(6.2.9)
(6.2.10)
получаем мат-
А В\/ая С D U
(6.2.11)
В этом уравнении элементы матрицы записываются следующим образом: 182
Глава 6
A = Q0sJcizI) + Ij sin k2zb
(6.2.12)
C-є»- - IjiW2l*
Iz Л2г
D = е ік"а cos k2zb -
2z
2z
В выражении (6.2.11) матрица представляет собой матрицу преобразования для одной ячейки, связывающую амплитуды плоских волн в слое 1 элементарной ячейки с аналогичными амплитудами для эквивалентного слоя в следующей элементарной ячейке. Поскольку эта матрица связывает амплитуды поля двух эквивалентных слоев с одинаковыми показателями преломления, она является унимодулярной, т. е.
Следует отметить, что матрица преобразования для элементарной ячейки, связывающая амплитуды поля в слое 2, отличается от матрицы в уравнении (6.2.12). Однако эти матрицы имеют одинаковые следы. Ниже будет показано, что след матрицы преобразования для элементарной ячейки непосредственно связан с зонной структурой периодической среды.
Матричные элементы А, В, С, D для TM-волн (вектор H перпендикулярен плоскости yz) слегка отличаются от аналогичных матричных элементов для ТЕ-волн. Для TM-волн имеем
AD- BC= 1.
(6.2.13)
. пік,, п}к7Л . , cos k2zb+\i + Smk2zb ,
L- и*- Ir і
n\k2z п\кХг Распространение электромагнитных волн в периодических средах
183
С = PikIi"
- Jl
nIkXz
Фгг
n\k2z
nIkU
sin k2z b
(6.2.14)
D
тм
-ikua
cos k2zb - jі
nIkU n\k2z
n'\ kIr 1 . .
+ sin k2zb
n2k\z )
Как уже отмечалось вы nie, только один вектор-столбец является независимым, В качестве этого вектор-столбца можно выбрать, например, вектор-столбец для слоя 1 в нулевой элементарной ячейке. Оставшиеся векгор-столбцы эквивалентных слоев связаны с вектором для нулевой элементарной ячейки соотношением
і А
С
Ь«Г
(6.2.15а)
обращение которого дает
А В\~1 (ао С D J \Ь0
-п! а
(6.2.156)
Используя тождество 1
1A В
іС D
D -В -С А
справедливое для унимодулярных матриц, выражение (6.2.15) можно упростить:
D
С
-Byia0
А J К
(6.2.16)
Вектор-столбец для слоя 2 той же элементарной ячейки можно всегда получить с помощью (6.2.9).
6.2.1. ЕЛОХОВСКИЕ ВОЛНЫ И ЗОННАЯ СТРУКТУРА
Периодическая слоистая среда эквивалентна одномерному кристаллу, который инвариантен относительно трансляций на постоянную решетки. Оператор трансляции решетки T определяется выражением Tz = Z - IA, где / — целое число. Отсюда следует, что
TE(z) = Е(Т 'z) = E(z + IA). (6.2.17)
J 184
Полученная выше матрица ABCD является представлением оператора трансляции на элементарную ячейку. Согласно теореме Блоха, рассмотренной в разд. 6.1, вектор электрического поля нормальной моды в периодической слоистой среде имеет вид
E = E к(г)е-'Кге'<а,-к>У\ (6.2.18)
где Ед-(г) — периодическая функция с периодом Л, т. е.
E*(z) = E*(Z + A). (6.2.19)
Нижний индекс К указывает на то, что функция Ea (г) зависит от К. Постоянная К называется блоховским волновым числом. Задача теперь непосредственно состоит в определении величин К и ЕА(г) как функции от о; и к . (Заметим, что kv = Ky и нижний индекс у Kz опущен для удобства обозначения.)
Используя представление с помощью вектор-столбцов и выражение (6.2.5), условие периодичности (6.2.19) для блоховской волны можно записать в простом виде:
-""4U- J- ,6-2'20):
Из выражений (6.2.11) и (6.2.20) вытекает, что вектор-столбец для блоховской волны удовлетворяет следующему уравнению на собственные значения:
(с »-(а-
Таким образом, фазовый множитель е'КХ является собственным значением матрицы трансляции ABCD и удовлетворяет характеристическому уравнению
А - eiKA В С D- е,КА
= 0.
