Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
* = x 1 (6-6'17)
здесь центральная частота зоны со0 равна значению частоты со, при котором ксosO = т-її/А (или A? = 0) и п = [(l/2)(«f + nj)]l/2.
На рис. 6.15 изображены зависимости ReA" и ImAr от со при т = 1 и в = 0, вычисленные с помощью (6.6.17). Заметим, что ширина запрещенной зоны частот равна
(Ato) gap = —|к|,
(6.6.18) Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
217
РИС. 6.15. Дисперсионная кривая (зависимость ш от К) для периодической среды при пу = 3,4, п2 = 3,6 и a = b = 0,5Л. Эта зависимость получена расчетом по формуле (6.6.17) из теории связанных мод или по точной формуле (6.2.26). ш измеряется в единицах сж/пА, а К — в единицах ж/А.
где IkI в соответствии с (6.6.5) является функцией порядка т. Из выражения (6.6.16) следует, что
(ImK)max = |к| = коэффициент связи. (6.6.19)
Таким образом, при частотах вблизи брэгговского значения W0 короткий отрезок периодической среды действует как зеркало с высоким коэффициентом отражения.
На рис. 6.15 представлена также дисперсионная зависимость со (А"), вычисленная с помощью формализма блоховских волн. Следует заметить, что теория связанных мод согласуется с формализмом блоховских волн.
6.7. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
Выше мы получили некоторые важные характеристики электромагнитного излучения, распространяющегося в периодической слоистой среде. Мы нашли явное выражение для матрицы трансляции на элементарную ячейку в периодической слоистой среде. При диа- і 218
Глава 5
гонализации этой матрицы трансляции на элементарную ячейку была получена зонная структура.
Понятия фазовой и групповой скоростей, а также скорости переноса энергии в периодической слоистой среде являются весьма тонкими и требуют внимательного анализа. Электромагнитные бло-ховские волны определяются выражением (6.2.25), а дисперсионное уравнение, связывающее kv, К и со, можно получить из (6.2.24). Важно иметь в виду, что блоховское волновое число К определяется выражением (6.2.24) не однозначно, а с точностью до произвольного целого числа, умноженного на 2ж/А. Обычно используемая в физике твердого тела схема приведения к зоне Бриллюэна неприменима при рассмотрении фазовой скорости электромагнитной блоховской волны. Если Ea- (z) разлагается в ряд Фурье
то блоховскую волну можно представить в виде линейной суперпозиции бесконечного числа элементарных плоских волн, называемых пространственными гармониками. Из выражений (6.2.25) и (6.7.1) имеем
E = ^«(к)е~'1К+'(2'/А)ие'(ш~куу), (6.7.2)
где ер — постоянные векторы. Таким образом, многозначная природа блоховского волнового числа заключает в себе существование полного набора пространственных гармоник. Если периодичность отсутствует (т. е. и, = п2), то блоховская волна должна переходить в регулярную плоскую волну, а К должен быть равен kz — z-составляющей волнового вектора.
Главное значение К определяется таким образом, чтобы
для любых / или, что эквивалентно, путем выбора такого К, чтобы интеграл
имел максимальную величину. Это гарантирует то, что при исчезновении периодичности выживут лишь пространственные гармони-
(6.7.1)
Iefl > |е?>|
(6.7.3)
(6.7.4)
ки е<?> и К = к
Z • Расмрос гранение злек громаї ни міьіх воли в периодических средах 21У
Соответствующий выбор блоховского волнового числа К позволяет теперь определить фазовую скорость блоховской волны
= <6'7'5)
В случае когда величина К комплексна, следует использовать лишь вещественную ее часть.
Определенная выше фазовая скорость представляет собой, строго говоря, фазовую скорость основной пространственной гармоники (/ = 0), которая имеет вид плоской волны
E = (Ък)е*ш~к>У-Кг\
(6.7.6)
В длинноволновом режиме распространения, когда вся структура ведет себя так, как будто она однородна, основная пространственная гармоника вносит преобладающий вклад в блоховскую волну и может рассматриваться в качестве очень хорошего приближения общей волны.
Групповая скорость блоховского волнового пакета, распространяющегося в плоскости yz, дается выражением
vS =(?)/+(Hki- <6-7-7>
В однородной среде групповая скорость представляет собой скорость переноса энергии квазимонохроматической волны и, следовательно, параллельна вектору Пойнтинга, который в однородной среде без потерь является постоянным. Вектор Пойнтинга блоховской волны, определяемый выражением (6.2.25), является периодической функцией координаты z. Однако групповая скорость (6.7.7) той же самой волны является постоянным вектором. Противоречие обусловлено тем, что в периодической среде поток энергии есть периодическая функция пространственных координат. Тем не менее мы покажем, что средняя скорость переноса энергии, определяемая выражением
-и
(Вектор Пойнтинга) dz - , (6.7.8)
1
Л
(Плотность энергии)dz і 220
Глава 5
в точности равна групповой скорости, определяемой выражением (6.7.7). Это весьма полезный результат, поскольку он позволяет объяснить распространение локализованных пучков с конечной апертурой в слоистой среде. Усредненные по пространственным координатам вектор Пойнтинга и плотность переноса энергии особенно полезны при рассмотрении длинноволнового режима распространения, когда среду можно рассматривать как квазиоднородную и анизотропную.
