Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Ek = 1>(К - GK«k-g>-' = G
= е-'к-г?А(К - G)e'G-' = (6.1.14)
G
= е-<к"Ек(г).
В одномерном случае G = /g = /2x2/Л. Поэтому
Ек(г) = ?а(К - /gy^/A); (6.1.15)
I
является периодической функцией с периодом Л. Выражение (6.1.14) определяет нормальную моду распространения. Более общее решение (6.1.12) теперь представляет собой линейную суперпозицию этих нормальных мод. Тем самым мы доказали теорему (6.1.5).
При условии что частота w задана, из уравнений (6.1.13) можно получить волновой вектор К. Если среда однородна в х- и ^-направлениях, т. е. є не зависит от х и у, то из (6.1.14) и (6.1.15) находим 174
Глава 6
следующее выражение для блоховской моды электрического поля: E - (6.1.16)
где Ек(г) — периодическая функция от г. В этом случае, задавая частоту оз и набор величин (Kx, Ky), из уравнений (6.1.13) можно определить Kz. Существуют области значений о-, для которых К. становится комплексным числом, и, следовательно, блоховская волна (6.1.16) оказывается затухающей. Падающее излучение от этих областей будет полностью отражаться. В диапазоне рентгеновского излучения это явление называется брэгговским отражением. Поскольку наибольший интерес представляют явления и устройства, использующие периодические среды в области их запрещенных зон, мы будем искать приближенные решения для блоховских волн, когда условие Брэгга приблизительно выполняется. Чтобы проиллюстрировать основные идеи, для простоты в дальнейшем будем предполагать, что волна распространяется в направлении г (т. е. Kx = Ky= 0) и что вектор поля перпендикулярен волновому вектору (K-E = 0). Кроме того, будем предполагать среду изотропной, т. е. считать, что E1 является скалярной величиной. При этом система уравнений (6.1.13) принимает вид
к2А(к) - U2HYlElAik - lg) = 0. (6.1.17)
і
Для нахождения блоховской волны с волновым числом К (здесь для простоты опущен нижний индекс z) требуется решить систему уравнений (6.1.17) с к = К, К ± g, К ± 2g, ... . Поскольку мы снова имеем бесконечное число уравнений относительно А (К), А (К ± ± g), А (К ± 2g), ... , для получения явного решения требуется сделать еще одно приближение. Чтобы это приближение было корректным, нужно исследовать все входящие в уравнения члены и пренебречь малыми величинами. Записывая в (6.1.17) несколько первых членов для к = К, получаем уравнение
K2A(K) - и2це0А(К) - и2це{А(К - g) - и2це^,А(К + g)----=.0,
(6.1.18)
которое можно также переписать в виде
А(К) = 1 2 - g) + + g) + ¦ ¦ • ] . К - W JLie0
(6.1.19) Распространение электромагнитных волн в периодических средах
175
Аналогично, уравнение (6.1.17) для k = K- guk = K + g можно записать соответственно в виде
A(K-g) = ---~[и2цЄіА(К - 2g) + w2(ie_{A(K) +•••],
(К- g) - uzfie0
(6.1.20)
А(К + g) =-J- [^ЄіА(к) + и2(ге_,А(К + 2g)+...].
(К+ g) - U1He0
(6.1.21)
Из уравнений (6.1.19) — (6.1.21) следует, что если
\K-g\»K, (6.1.22)
K2 = Jpe0, (6.1.23)
то основными членами являются А (К) и А{К — g). Физически это означает, что между составляющими плоских волн А (К) и А (К —
— g) имеется резонансная связь. Пренебрегая всеми другими коэффициентами, систему уравнений (6.1.17) для блоховских волн с волновым числом К можно переписать в виде
{К2 - U2(Ie0)A(K) - U2IielAiK -g) = 0, (6.1.24)
- и2це_1А(К) + [(А" - gf - и2це0]А(К -g) = 0. (6.1.25)
Заметим, что S0 здесь представляет нулевую фурье-компоненту диэлектрического тензора, а = є*, если є— вещественная диэлектрическая функция.
Уравнения (6.1.24) и (6.1.25) представляют собой систему линейных уравнений для амплитуд поля А (К) и А (К — g). Она имеет нетривиальное решение только в случае, когда детерминант системы равен нулю:
K2-OS2 /хе0 -U2Iiel
U2Jie_ ] (К - g)2 - U2Iie0
= 0,
или
(к2 - и2це0)[(К- g)2 - WV0] _ (W2^le1I)2 = 0.
(6.1.26)
(6.1.27)
Последнее уравнение представляет собой явную запись дисперсионного уравнения (6.1.6), определяющего зависимость а>(К). Условие 176
Глава 6
Брэгга (6.1.22) точно выполняется при К = (1/2)g = 7г/Л. При этом значении К из уравнения (6.1.27) получаем следующие два корня со2:
Эти корни определяют границы спектральной полосы. При частотах со между со+ и со_ корни уравнения (6.1.27) для К являются комплексными числами, вещественная часть которых равна -к/К. Волны при этом являются затухающими, а их спектральный диапазон называется «запрещенной зоной».
При частотах со, лежащих вне этой запрещенной зоны, корни уравнения (6.1.27) для К являются вещественными и решения отвечают распространяющимся волнам. Уравнение (6.1.27), устанавливающее связь между со и К, называется дисперсионным. На рис. 6.2 представлено графическое изображение дисперсионного уравнения (6.1.27) для типичной периодической среды. Для трехмерной периодической среды дисперсионное уравнение (6.1.6) соответствует поверхностям постоянной частоты в K-пространстве. В случае трехмерных периодических сред могут также существовать запрещенные зоны частот со. Волны с частотами в запрещенных зонах не могут распространяться, поскольку вследствие брэгговского отражения они затухают. Это нетрудно показать, если вычислить волновое число К в центре запрещенной зоны при со2 = (g/2)V/i?0 [см. (6.1.22) и (6.1.23)] и K = g/2 + x, где Ixl g/2. При этом дисперсионное уравнение (6.1.27) принимает вид
