Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
6.4.1. УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННЫХ МОД
Уравнение (6.4.16) описывает наиболее общий случай связи между модами, обусловленной периодическим возмущением диэлектрической проницаемости. На практике во многих случаях имеет значение связь лишь между двумя модами. Обозначим эти две связанные моды индексами 1 и 2. Пренебрегая взаимодействием со всеми другими модами, уравнения связанных мод можно записать в виде
dz 1К гЄ '
(6.4.23)
-^A2 = -ік*Ахе~^, dz
где
A? = ?x - ?2 - m~ , (6-4.24)
a CcJj' и Cc71"0 — коэффициенты связи, определяемые выражением (6.4.17). Из определения (6.4.17) можно непосредственно показать, что
С,(2и)=[С2<Ги)]*, (6.4.25)
•если Ae(х, у, z) — эрмитов диэлектрический тензор.
В случае когда диэлектрический тензор ? в (6.4.1) является функцией только от г (т. е. не зависит от х и у), нормальные моды невозмущенной среды представляют собой плоские волны и коэффициенты фурье-разложения гт возмущения диэлектрической проницаемости оказываются постоянными. В этом частном случае коэффициенты связи принимают вид
^'-да*-'-"- <6'4-26) і 202
Глава 5
где Pa. и Р/ — единичные векторы поляризации плоских волн.
Заметим, что коэффициенты связи (6.4.26) зависят как от состояний поляризации связанных мод, так и от тензорных свойств коэффициентов фурье-разложения Em.
Знаки множителей /3,/1/3,1 и ?2/\?2\ в уравнениях (6.4.23) играют очень важную роль; они определяют характер поведения связи. Эти знаки, разумеется, зависят от направления распространения связанных мод. Поэтому можно рассматривать два типа связи, а именно связь волн, распространяющихся в одном направлении, и связь волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
6.4.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ МОДАМИ, РАСПРОСТРАНЯЮЩИМИСЯ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ
Если связанные моды распространяются в одном и том же направлении, скажем в направлении +z, то оба множителя /3/1/3,1 и ?2/\?2\ равны 1. При этом уравнения связанных мод принимают вид
-JzAx = -ікЛ2е**, -A2 = -ік*ахє-^, (6.4.27)
где
к = с,(2ш). (6.4.28)
Напомним, что Ai и A2 являются комплексными амплитудами нормированных мод. Следовательно, величины 1/1,12 и I^2I2 представляют собой потоки энергии мод 1 и 2 соответственно. Уравнения связанных мод (6.4.27) согласуются с условием сохранения энергии, которое записывается в виде
~{\АХ\2 + M2I2I = O. (6.4.29)
Общее решение уравнений (6.4.27) получается путем интегрирования от 0 до г. Таким образом, мы имеем
Ax(z)
. A? .
COS sz - і —— sin sz 2s
/1,(0) - IjsinjzH2(O)I, (6.4.30)
A2(z) = -/-SinjzH1(O) +
.b? . cos sz + і sin sz
2s
A2(O) , Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
203
где
S2 = к*к +
A?]2
(6.4.31)
а /4,(0) и A2(O) — модовые амплитуды при z = 0. С помощью выражений (6.4.30) можно показать, что доля энергии, которая благодаря связи переходит из моды A2BA1 на расстоянии г (или, наоборот, из моды A1 в моду A2), равна
Максимальная энергия, которой могут обменяться моды, составляет Ы2/[Ы2 -I- (А/3/2)2], причем при А/3 > Ul она становится небольшой. Передача всей энергии одной моды другой возможна, только если А/3 = 0, т. е. если выполняется условие фазового синхронизма. Типичным примером связи между модами, распространяющимися в одном и том же направлении, является распространение света через светофильтр Шольца. Такое распространение мы рассмотрим в разд. 6.5 в рамках теории связанных мод.
6.4.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫМИ МОДАМИ
Если связанные моды распространяются в противоположных направлениях, скажем при положительных /3, и отрицательных ?2, то множители /3,/1/3,1 и /32/І/32І становятся равными 1 и -1 соответственно. При этом уравнения связанных мод принимают вид
где к снова дается выражением (6.4.28).
В этом случае полный поток энергии в направлении +z равен IA1I2 - \А2\2. Уравнения связанных мод (6.4.33) снова согласуются с условием сохранения энергии:
(6.4.32)
4-А, = -ікА2е'й^, dz 1
^A2 = ік* АіЄ~^,
dz"2
(6.4.33)
з~(Иіі2 - \а2\2} = о.
(6.4.34)
Для противоположно направленных связанных мод граничные ус- і 204
Глава 5
ловия записываются в виде А , = А (0) при г - 0 и A2= A 2(L) при z = L. Общее решение для амплитуд этих мод имеет вид
А (z) = e«A?/2 J s Ch s(L -Z) + і (A?/2) Sh s(L - z) A,(Z) Є \ s ch sL+ i(A?/2) sh sL xK )
+ 7 ch sL + i(A?/2) sh sLA^L))' (6A35)
A (z\ = e-.(W2)J_~iK* sh s(L-z)_
A2[Z} e { S ch sL + i(A?/2) Sh sL +
, .«UI/2M. s Ch " + '(A^/2) Sh )
+ e s ch sL + i(A?/2) Sh sL 2(4I'
где
s2 = K*K-(^-)2. (6-4.36)
Из общего решения (6.4.35) видно, что энергия обмена между эти-— двумя модами в области между z = 0 и z = L дается выраже-
ми нием
_|ic|2sh2sL_
s2ch2sL + (A?/2)1 Sh2SL
(6.4.37)
Можно снова заметить, что доля энергии, которой обмениваются моды, уменьшается с увеличением A?. Полный обмен энергией между противоположно распространяющимися модами имеет место только при выполнении условия фазового синхронизма (A? = = 0) и когда L — оо. Здесь ситуация отличается от случая связи между одинаково направленными модами, когда две связанные моды обменивались энергией в том и другом направлениях и при условии A? = 0 происходил периодически в пространстве полный обмен энергией. На рис. 6.11 показано, как обмениваются энергией связанные моды, распространяющиеся в одном направлении, а на рис. 6.14 иллюстрируется то же самое для противоположно направленных мод.
