Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
6.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
Оптические свойства периодической среды описываются тензорами диэлектрической проницаемости и восприимчивости, которые вследствие трансляционной симметрии среды являются периодическими функциями координаты х:
е(х) = е(х + а), ц(х) = ц(х + а),
(6.1.1) і 170
Глава 5
где а — любой произвольный вектор решетки. Эти формулы отражают лишь то, что наблюдатель, расположенный в точке х, «видит» среду такой же, как и наблюдатель в точке х + а. В случае трехмерной периодической среды, такой, как кристалл, периодичность решетки определяется элементарными векторами а,, а2 и а3. Среда остается инвариантной относительно перемещения на любой вектор а, представляющего собой сумму целого числа этих векторов.
Распространение монохроматического (с частотой w) лазерного излучения в периодической среде описывается уравнениями Максвелла
VXH = ZweE, (6.1.2)
VXE = -ia/iH. (6.1.3)
Эти уравнения должны оставаться неизменными, если в оператор V и е, р вместо X подставить х + а. Трансляционная симметрия среды позволяет выбрать нормальные моды в виде
Е = Ек(х)е-'к'*,
(6.1.4)
H = Нк(х)е *,
где Ек(х) и Нк(х) — периодические функции, т. е.
Ек(х) = Ек(х + а),
(6.1.5)
Нк(х) = Нк(х + а).
Это свойство известно как теорема Флоке (или Блоха) и будет доказано ниже. Нижний индекс К указывает на то, что функции Ek и Hk зависят от вектора К, который называется блоховским волновым вектором. Величины со и К связаны дисперсионным уравнением
<о = W (К). (6.1.6)
В случае когда периодичность исчезает, функции Ек(х) и Нк(х) становятся не зависящими от х, а нормальные моды — плоскими волнами с волновым вектором, равным блоховскому. Наша основная цель состоит в определении Ек(х), Нк(х) и нахождении дисперсионной зависимости со (К). Piicnpoc і ранение элск і ромаї шпных полі в периодических средах
171
6.1.1. ОДНОМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СРЕДЫ
В современной оптике часто приходится иметь дело с одномерной периодической средой, тензор диэлектрической проницаемости которой г. удовлетворяет условию
e(z) = e(z + /Л), (6.1.7)
где Л — период, а / — некоторое целое число. В данной главе мы ограничимся рассмотрением распространения лазерного излучения в одномерной периодической немагнитной среде. На рис. 6.1 показана типичная периодическая среда, представляющая собой чередующиеся слои двух прозрачных материалов. Предположим, что на
РИС. 6.1. Типичная периодическая слоистая среда, состоящая из чередующихся слоев GaAs и Al Ga, As, выращенных на подложке из GaAs методом эпитаксии из молекулярных пучков [7]. і 172
Глава 5
эту периодическую слоистую среду падает пучок лазерного излучения. Свет будет претерпевать отражение и преломление на каждой границе раздела. Пусть в — угол падения. Интерференционные максимумы при отражении возникают при условии
2Acos в = т\ , (6.1.8)
которое называется условием Брэгга. Его легко вывести, сравнивая разность фаз между лучами, отраженными от последовательных плоскостей решетки. Конструктивная интерференция возникает, когда оптическая разность фаз между лучами, отраженными от последовательных плоскостей решетки, составляет целое число длин волн. Распространение электромагнитного излучения в таких средах подчиняется волновому уравнению
V X (V X Е) - <oVE = 0. (6.1.9)
Поскольку среда является периодической, диэлектрический тензор є можно разложить в ряд Фурье:
eOOa-LeG*"'6"", (6.1.10)
G
где G пробегает все векторы обратной решетки, включая G = O-B нашем одномерном случае
G = /g = /T2' /= ±1,+2, ±3,..., (6.1.11)
e(z) = L^"(2v/A)z. і
В физике твердого тела вектор G называется вектором обратной решетки. В физике кристаллов этот вектор играет фундаментальную роль. В одномерной периодической среде вектор g параллелен оси г. Вектор электрического поля в этой периодической среде в общем случае можно выразить через интеграл Фурье:
E = fd3kA(k)e~ik-*. (6.1.12)
Подставляя выражения (6.1.12) и (6.1.10) в (6.1.9), получаем Jd3Jfck X [k X А(к)]є"'"'* + <o2/xL Jd3IcecА(к - G)e"'k-X = 0. Распространение электромагнитных волн в периодических средах
173
Это условие выполняется только тогда, когда все множители при g-/k-x обращаются в нуль. Таким образом,
k X [к X А(к)] + <o2/x?eGA(k - G) = 0 для любого к, (6.1.13) G
где суммирование производится по всем векторам обратной решетки. Это условие представляет собой бесконечную однородную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов А(к). Каждое уравнение в этой системе имеет свое, отличное от другого значение к. В принципе для этой системы можно решить характеристическое уравнение, получаемое приравниванием детерминанта системы уравнений (6.1.13) нулю. Однако при более внимательном рассмотрении системы (6.1.13) можно заметить, что не все коэффициенты А(к) связаны между собой. Оказывается, что связаны только коэффициенты вида A(k - G). Это позволяет разбить полную систему уравнений (6.1.13) на много подсистем, каждая из которых относится к волновому вектору К и содержит уравнения относительно A(K) и А(К — G) со всевозможными векторами G. Каждая такая подсистема может быть решена по отдельности. Используя это свойство для системы (6.1.13), решение подсистемы, характеризуемой вектором К, можно записать в виде
