Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда видно, что при х = 0 потенциал Vj = - W, а при больших х > е2 /4W формула
(3.147) практически не отличается от (3.146). В силу того, что внутри металла электроны подчиняются распределению Ферми - Дирака (3.28), их максимальная энергия при 0 К равна jr0. Поэтому работа выхода и> электронов с поверхности Ферми определяется не всей высотой потенциального барьера W, а разностью между ией и энергией Ферми f0, т.е.1
Это определение работы выхода существенно отличается от классического.
Вычислим термоэлектронный ток, равный числу электронов, испаряющихся с единицы поверхности металла за единицу времени. Предполагается, что закон дисперсии квадратичен.. Поскольку потенциал (3.147) зависит только от х, нас интересует лишь слагающая импульсарх. Энергия электрона, который может вылететьиз металла через поверхность (у, z), должна превышать сумму энергии потенциального барьера и величины (р2у + p2z)/2m*, т.е.
Полное число электронов с импульсом в пределах от рх до px + dpx, проходящих за одну секунду через участок поверхности металла площадью 1 см2, равно3
Тогда поток электронов найдем, интегрируя (3.150) по всем значениям рх, ру и pz, удовлетворяющим условиям (3.149). При этом переходим к интегрированию по
1 При сильном вырожденки и при Т> 0К определение величины и>по (3.148) вполне законно, ибо число электронов с е > f0 исчезающе мало.
2 Здесь мы используем функцию распределения, которая дает не число электронов в объеме V с энергиями в интервале от е до e + de, т.е. функцию из (3.29), а функцию .р(рх, Ру, Pz), которая дает число электронов в единице объема со слагающими импульса от рх до рх + dpx и т.д. и равную (2/Л3) Л (рх, pv, pz).
V{ = -е2/Ах.
(3.146)
Vj(x) = -e2 К4x + e2/W).
(3.147)
(3.148)
e > W + (p2y +p\)l2m* - f0 + w + (p2y + p2z)l2m* =et.
(3.149)
(3.150)
IS dp у dp z f de [1 + exp ((e - ОАбПГ1 = ff dpydpz In [1 +
*• —OO f J h —oo
+ exp [ - (kBTyl (w + (p2y + P2z)l2m*)\\.
(3.151)
148
Таблица 3.4.
Термоэлектрические постоянные А некоторых металлов 1
Металл А, v4 /см2 К 2 Металл А, А/см2 К2
Са 60 Pt 104
Cs 160 Та 50
Мо 60 Th 60
Ni 27 W 60
1 См., Зейтц Ф. Современная теория твердого тела: Пер. с англ./Под ред. Г.С. Ждано
ва. - М. Л.: Гостехяздат, 1949, табл. 42.
(При взятии интеграла пос/е делаем замену переменных ехр |(е - ?)АбЛ s “• 470 да"
+ оо
ет квТ / |к(м + 1)] ”1 du, а этот интеграл легко берется.) При обычных условиях ui
w>kBT (из опыта известно, что w ~ 1 -f ЮэВ, а при обычных температурах квТ ~ ~ 0,01 эВ), поэтому
In 11 + ехр I - (Лб7-)'1 (w + <Ру + Р2г)12п'*)! I »
ехр I - (*б7')“' (w + (pj,+pj)/2m*)|
и для термоэлектронного тока после интегрирований по dpy и dp2 находим
jT3 = (4пет*кь/И3) Т2 ехр (- w/kBT) = АТ2 ехр (-w/kBT). (3.152)
Осиовнуюрольв (3.152) играет множитель ехр(- w/kб7"), по сравнению с которым множитель Т2 на опыте практически не выявляется. В классической теории (Ричардсон) , вместо (3.152), получали формулу
j™ =en(kbTI2nm)'’2 ехр (- W/kBT), (3.153)
которая выводится так же, как и (3.152), если в (3.151) вместо распределения Ферми подставить классическую функцию ехр ((fio, - е )/квТ). Различие между множителями Т2 и Т,12{ в (3.152) и (3.153) при наличии множителей ехр(- w/kBT) или ехр (- W/kBT) невозможно обнаружить. Однако обе эти формулы существенно различаются тем, что в квантовой формуле в показателе стоит величина - w/kBT, а в классической - W/kBT, т.е. в них учитываются разные работы выхода. Уменьшение работы выхода в квантовом случае можно качественно объяснить так: с энергией Ферми f0 связано внутреннее давление электронного газа (3.75) р ~ л?0, которое и облегчает выход электронов через потенциальный барьер ("выдавливает” электроны). Отметим также, что в квантовой формуле (3.152) множитель А имеет универсальное значение (А ^ 120 А/см2 К2) для всех металлов, в то время как в классической формуле (3.153) в него входит п - величина, индивидуальная для каждого металла. Из табл.3.4 видно, что опытные значения А совпадают с теоретическими лишь по порядку величины, что объясняется грубостью модели, используемой при выводе формулы (3.152) (подробнее см. в § 30 цитированной на стр. 146 книги Ф. Зейтца).
§ 3.6. Кинетические явления
