Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
fr(f)
*(0 * *(Ы + (Г-Го) ~—
?=?„
с точностью до членов порядка Г2, находим с помощью для (3.104)
(3.104)
(3.105)
(3.105)
и
Если вместо произвольной функции ?(fn) взять ос значение для квадратичного закона дисперсии, то из (3.106) получим, в силу (3.27) и (3.36),
Хпм = <Зл!лЛ’/2РГо) |1 - (я:/1 2) (А'ь T'/fo)2 | =
= (12mV?.-,//»:M*/3)2/V/3|l (я2 /12) (А'бT’/fo)21. (3.107а)
откуда видно, что при Г = 0 К (3.107а) переходит в (3.98). Пользуясь
тем,что дп(е)1 де = -Эи(е)/д$\ можно,вместо (3.103), записать
Мэи / д ----\ р2л ЭЛ’ , Э/1
!- — (-J ¦/* (е|„ ,е>) _ Я.
и тогда для восприимчивости получаем
Хпм -- (им2элДь7')(/-',1/2(П//-'1/2Ш).Г = Г/*ЬГ. здесь
f'a 0’) = J Xttdx/[e\p и - у) + 1 Г1 . о
Л- = е/кБТ. у = $/кБТ, F'a (у) = Э/а (у)/Ъу
п = С feinde/[c\p 1(е $)/къТ\ + 1 Г‘ =
о
= С[кнТ)1/2Уш(Ь= C*fdeel/2 = 2Qo3/2/3.
о
В классическом пределе кц'/’> f0 имеем /2(Г) = Г(3/2) ехр f, где Г(_)’) -гамма-функция, и, следовательно, для Хпм получаем закйн Кюри
Хмм * >Щ2,;,/киТ (3.1076)
Здесь также нет множителя 1/3 в силу квантовых законов для спина.
3.5.5. Диамагнетизм вырожденного электронного газа по Ландау
Как отмечалось выше, рассмотрение магнитных свойств п. 3.5.4 неполное, потому что электроны проводимости обладают не только пара-, но и диамагнетизмом. (При обычных измерениях магнитной восприимчивости металла фактически определяется сумма пара- и диамагнитной восприимчивости электронов и ионных остовов. Однако с помощью методов магнитного резонанса можно выделить парамагнитную составляющую восприимчивости.)
По общей теореме классической статистики (Дж.Х.Ван Лесвен, 1921 и Я.П. Терлсцкий, 1939) диамагнитная восприимчивость электронов должна равняться нулю. Действительно, все магнитные свойства определяются из статистической суммы
Z = id3Npd3*x(№h3Nrlt\р \-Х (р. х)/кБТ\, (3.108)
где If — гамильтониан системы /V частиц, зависящий от всех координат 138
Рис. ЗЛО. К доказательству отсутствия диамагнетизма классического газа электронов по Н. Бору
Xj и импульсов Pi (в (3.108) все они обозначены через х и р). В классической электродинамике показано, что магнитное поле включается в гамильтониан заменой Pi Pj - CjA (Xj) /с (ef - заряд/-Й частицы, А — векторный потенциал) без изменения вида функциональной зависимости Jf (р, х). При такой замене переменных интеграл (3.108) не меняется, а, следовательно, все производные термодинамического потенциала Ф=-?ьЛп2 по магнитному полю (намагниченность, восприимчивость и т.п.) равны нулю. Невозможность классического объяснения магнитных свойств вещества — одна из ’’катастроф” классической физики. Теория пара- и диамагнетизма П. Ланжевена не была в этом отношении последовательной, ибо фактически в ней постулировалось существование стационарных электронных орбит, а также магнитных моментов атомов и молекул. На самом деле эти предположения не могут быть обоснованы чисто классически.
По Н. Бору (1911) в образце металла конечных размеров исчезновение диамагнетизма наглядно объясняется тем, что наведенный во внешнем поле диамагнитный момент внутри металла точно компенсируется обратным моментом ломаной траектории электронов, испытывающих отражение от границ образца (рис. 3.10). Однако Л.Д. Ландау (1930) открыл замечательный факт, что квантовый газ свободных электронов обладает отличным от нуля диамагнетизмом. По классической теории, проекция движения свободных электронов на плоскость, перпендикулярную действующему на них магнитному полю, имеет вид замкнутой траектории (циклотронных орбит) и движение носит периодический характер. При переходе к квантовой теории периодическое движение квантуется, поэтому при включении магнитного поля энергия электронов меняется и возникает диамагнитный эффект.
Рассмотрим сначала движение электрона в однородном постоянном магнитном поле Н, параллельном оси z, в квазиклассическом приближении. Если электрон находится в связанном состоянии в атоме, то его движение по круговой орбите радиуса г в кулоновском поле ядра заряда \е\ описывается уравнением классической динамики та$г = е2/г2, где coq = (е2/тг3)1/2 — собственная круговая частота электрона в атоме. Если атом поместить в поле Н, то кроме кулоновской силы е2/г2 на электрон будет действовать сила Лоренца (е/с) [vff], где v = [wr] -скорость электрона на орбите. Если вектор Я перпендикулярен плоскости орбиты, то уравнение движения примет вид
той2 г = е2/г2 + ег'лН/с
и, следовательно,
со = — (| е | Hjlmc) ± Icjq + (eti/lmc)2 ]I/2
139
В случае слабых полей' (\с\Н12тс Ч ш0) имеем I cj| = cj0 - \e\Hj2mc = = uiq ± сО/ , где u>i = | е| Н/2тс - ларморовская частота электрона в атоме. Для свободной частицы радиус орбиты т -»т.е. cj0 -»0, и поэтому и> = = -cj/ ± CJ/ , откуда сразу следует, что круговая циклотронная частота свободного электрона в однородном магнитном поле равна
