Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
r$H<N<(r+ 1)0Я, (3.144)
или
N/(r + 1) < (ЗЯ < N/r.
При этом предполагается, что (1H/N < 1.
Напоминаем, что / =0, 1, 2, ..., поэтому уровню номер г в формуле для энергии соответствует квантовое число I = г — 1 и т.д. Энергия электронов, заполняющих целиком г первых уровней, равна
РНЪ цъН{21 + 1) = йиБЯ2г2.
1 = 0
Энергия N -г$Ы электронов, частично заполняющих г + 1 уровень, равна
(N-r№)nBH{2r+ 1).
Полная энергия равна сумме этих двух выражений:
?(Я, г)=Л^ь(2г + 1)Я г(г+ \)цБрН2.
Следовательно, в интервале значений поля, определенных неравенством (3.144), магнитный момент системы электронов (M = IV) равен
М = Э?(Я, т)\ЪН = - Л^Б [2r + 1 - 2r(r + \)0H/N]. (3.145)
Магнитный момент как функция целочисленного параметра г является
' Peierls R. - Zs. Phys., 1933, v. 81, p. 186; см. также Зейтц Ф. Современная теория твердого тела. - М.: Гостсхиздат, 1949.
146
Рис. 3.14. Эффект де Гааза плоской модели.
ван Альфена в
дискретной функцией Я. Как отмечалось выше, при QH/N > 1 магнитный момент M=-NnB и не зависит от Я (это видно и из (3.145) при г =0). При \I2<$H/N<\ электроны переходят на уровень с квантовым числом 1. Магнитный момент при jiH/N - 1 и г = 1 скачком изменяется от M=-NfiB до М=Мць и дальше изменяется по (3.145) при г = 1 линейно до (при поле (ЗЯ/А^=1/2). При дальнейшем уменьшении
поля электроны начинают переходить на уровень с квантовым числом 2. Здесь опять при |3H/N= 1/2иг=2по (3.145) происходит скачок момента Мк значению NnБ, а затем идет линейное изменение до М = - А^Б при/ЗЯ/А^= 1/3 и т.д. Таким образом, по мере уменьшения поля момент через определенные интервалы поля меняет знак и при значениях поля, для которых Щ/N = 1/г, испытывает разрывы (см. рис. 3.14). Из (3.120) следует, что реальный трехмерный энергетический спектр непрерывен, поэтому для него разрывов в магнитном моменте не должно быть. Р. Пайерлс (см. сноску на стр. 146), вычислив более точно термодинамический потенциал (3.130) для спектра (3.120), показал, что в этом случае функция М (Я) действительно не имеет разрывов. Это теперь подтверждается многочисленными опытами. Мы вернемся к этому вопросу ниже (см. гл. 4).
3.5.7. Термоэлектрическая эмиссия (эффект Ричардсона)
До сих пор мы не интересовались детально поверхностью металла и видом потенциала вблизи нее. При рассмотрении процессов прохождения электронов через поверхность форма потенциального барьера становится существенной. Как правило, электроны самопроизвольно не покидают металл. Это видно из того, что в нормальных условиях он не меняет заметно свой заряд. Электроны вылетают через поверхность металла лишь при воздействии каких-либо внешних факторов - температуры, внешнего электрического поля и т.п. При выходе из металла над электроном совершается работа. Для ее определения нужно выяснить условия, в которых находится электрон у поверхности.
На рис. 3.15 приведен схематический график энергии электрона. В модели свободных электронов потенциальная энергия у поверхности внутри металла и вне его постоянна - электрон свободен. Но по величине она вне металла больше. Скачок потенциала дК(.г)= W на границе металла (при х = 0) и характеризует работу выхода электрона. (Здесь принято, что поверхность металла совпадает с плоскостью yz и нормаль к металлу направлена по оси лс.) При таком виде потенциала металл является потенциальным ящиком.
Эта модель очень груба. Фактически, внутри металла V (г ) — периодическая функция, и поэтому электрон в металле нельзя считать свободным. Скачок потенциала на поверхности отнюдь не резкий, ибо электрон, выйдя за поверхность, но находясь еще вблизи нее, не свободен, а испытывает действие от притяжения со стороны металла. Поверхность металла также никогда не бывает идеальной ни в гео-
Рис. 3.15. Потенциальная энергия электрона вблизи поверхности металла;
147
метрическом, ни в химическом смысле, она всегда имеет различные химические неоднородности и другие дефекты кристаллической структуры. Тем не менее даже в рамках такой модели можно получить качественное описание термоэлектронной эмиссии, т.е. выхода электронов из металла в зависимости от температуры и в отсутствие внешнего электрического поля.
Прежде всего уточним вид потенциала V (х) вне металла. Электрон по выходе из металла и удалении от его незаряженной поверхности, как отмечалось в п. 3.S.2,
3.5.3, испытывает силу притяжения от зеркального изображения в поверхности. Предположим, что электрон находится на расстоянии от поверхности, значительно большем атомных размеров (х>гат), но меньшем размеров плоских участков поверхности металла. Тогда сила притяжения зеркального изображения равна F,- = -е,/4хг, а потенциальная энергия этого "поля изображений”
Из (3.146) видно, что при х -*•» Vj-> 0, на поверхности металла при х = О К,--*-¦»>. С другой стороны, в модели потенциального ящика принимается, что внутри металла (х <0) V= - W. Поскольку мы не интересуемся деталями хода потенциала вблизи самой поверхности (дс = 0), то примем, что потенциал ’’поля изображений” вне поверхности имеет вид (рис. 3.15)
