Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
дп0 ек\- дп0 i\.
+ — — х(«). (3.183)
и.
v дх m д их т (а* ) откуда после перехода от д/дих к д/де находим вместо (3.178)
[ дпо дпо \
Х(и) = - т(и) ^ -— + ct х ). (3.184)
дп о дп0
---- + cb v ----
Эх Эе
Для вычисления теплопроводности найдем поток тепла W х в присутствии Ех и дТ/дх. По Лоренцу выражение для него имеет вид
Wx = f cJTphvx(mv2 /2)= 1/2 f cJrpv2x и2 x(v). (3.185)
Прежде чем подставить (3.184) в (3.185), заметим, что дп0/Ъх здесь обусловливается градиентом температуры. Величина п0 по (3.28) есть функция от ? = (б - $)/кБТ. и поэтому
дп о дп 0 дТ Э/7.0 Э? дТ Э/70 Эб Э? дТ
Подставляя (3.186) в (3.184), а затем в (3.180а) для jx и (3.185), находим, после использования (3.179) и интегрирования по углам
1 дТ
е Ki еЕх 3 дТ
Т ---
m дТ Т дх .
!х
1 (
Wx = — К,
т I
Э / К \ Э Т еЕх - Т — — —
дТ \ Т / дх
+ *2--------------.
Т дх I
1 дТ | + К>--------------
Т дх
(3.187)
(3.188)
Здесь введены сокращенные обозначения для интегралов типа / из (3.47):
N
Го
/ dee, + i!2 т(е) —— о Эе
(3.189)
fo
З/2
Согласно (3.58), эти интегралы равны
N rf/ + 1/2r(f) + -^- (kbT)2 (r(e)e> + 1/2 )|e=f + ... ]..
6 (3.190)
Для определения коэффициента теплопроводности к надо положить jх = 0 в (3.187) при дТ/дх Ф 0, из этого условия найти электрическое термодиффузионное поле Ех и подставить его в (3.188). В результате находим
Wx
к = —
_1_ АТ, АГ3 - К\
m
(3.191)
дТ/дх m KiT Если взять для К/ первое приближение из (3.190), то числитель в (3.191) обратится в нуль. Поэтому теплопроводность, обусловленная электронами проводимости, есть явление второго порядка по къТ/$0 и требует для своего вычисления учета вторых членов разложения (3.190). Это понятно, ибо нулевое приближение в (3.190) соответствует равновесному распределению при Т = 0К. Для расчета электропроводности при дТ/дх = 0, т.е. для чисто электрического эффекта, этим приближением можно ограничиться. Для расчета тепловых явлений существенно учитывать влияние температуры на состояние системы, а следовательно, и на п (е ). Вычисляя числитель в правой части (3.191) во втором приближении, находим 1
*,*3 -К1~(ЦЗ)п2(кьТ)2п2 [r(fo)]2; знаменатель (3.191) можно вычислить в нулевом приближении:
КхТ*пТ(МТ.
Поэтому окончательно находим, используя (3.182), п2 к2ъ _ _ it2 У-
к
къ П_ *1 Ы (Го)
—Г — ит (fo )Т=— Т.
3 m 3 m u(f0)
(3.192)
Формула (3.192) внешне совпадает с классической формулой (3.13) для к с заменой Г HaT(f0)2-
1 Легко видеть, что все члены, содержащие д2т/де1 и ЗГ/Эе, в этом выражении сокращаются.
1 Как влервые отметил Френкель (1932), формула (3.192) удовлетворяет известному соотношению кинетической теории газов к = '/3 /(!'0)и(!'0)СуЛ.
156
Из сравнения формулы (3.181) для а и (3.192) для к, получаем уже известное по (3.14) соотношение Видемана - Франца
к/а = ( 1/Зтг2 )(къ/с)2 2,43- Ю'8 Т Вт Ом/К"2. (3.193)
Теоретическое »ыражение для числа Лоренца L =к/аТ= 2,43- Ю-8 Вт Ом/К2 несколько лучше согласуется со средним опытным значением L, чем классическая формула (3.14).
3.6.4. Термоэлектрические явления
Исследуем вопрос о выделении тепла в металле при прохождении электрического тока и наличии градиента температуры, которое возникает за счет работы, совершаемой электрическим полем над электронами проводимости. Может появиться сомнение: можно ли описать эти явления без учета взаимодействия электронов с ионной решеткой. Как и при выводе закона Джоуля — Ленца (3.7), механизм этого взаимодействия совершенно не важен для качественного изучения поставленного вопроса, ибо энергия, накопленная электронами в поле, должна перейти к решетке вследствие закона сохранения энергии. Однако существует специфический термоэлектрических эффект, в механизме которого колебания ионной решетки (фо-ноны) играют определяющую роль. Это эффект увлечения электронов фо-нонами, предсказанный Гуревичем Л.Э. (1945) и открытый на опыте Х.П.Р. Фредериксом (1953) и независимо — Т.Х. Гебалле.
Рассмотрим термоэлектрические эффекты для химически и структурно однородной проволоки. Пусть вдоль ее оси х направлен ток jx и градиент температуры ЪТ/Ъх. Тогда скорость выделения тепла dQ/dt в единице объема равна
dQ/dt = jx Ех - д Wx /Эх, (3.194)