Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
3.6.1. Кинетическое уравнение Больцмана
Электроны проводимости в металле могут находиться под влиянием электрического и магнитного полей и градиента температуры. Кроме того, они испытывают столкновения друг с другом, с ионной решеткой, с различными ее дефектами и т.д. В результате устанавливается динамическое равновесие, когда электроны в процессах рассеяния теряют полученную от поля энергию и импульс. При изучении совокупности кинетических явле-
149
ний — электропроводности, теплопроводности, эффекта Холла и т.п. используют метод кинетического уравнения Больцмана, на выводе которого мы остановимся.
Состояние системы статистически описывается с помощью функции распределения в фазовом пространстве координат и скоростей, которая может также зависеть от времени t : n(r, v, t). Число электронов в элементе объема шестимерного фазового пространства (1тг(1тч равно
п (г, V, /) (1тг(1ту.
Условия нормировки функции п выбираются в виде
где п интегрируется по всему фазовому пространству. Для нахождения кинетического уравнения, которому удовлетворяют функции п (г , v, t) при наличии внешних полей и процессов рассеяния, выделим в фазовом пространстве элемент объема и рассмотрим все возможные изменения в нем этих функций. Можно указать следующие причины, изменяющие п со временем: во-первых, явная зависимость й от /, определяемая величиной частной производной п по времени: Э/Т(г,у, /)/Эл
Во-вторых, диффузионное изменение п благодаря переходу частиц из одних участков г-пространства в другие и полевое изменение п благодаря ускорению а = (ах, ау, а,) во внешних полях. Таким образом, в момент t + dt в данную ячейку фазового пространства со средними координатами х, у, z:vx, иу,и, попадут те частицы, которые в момент t находились в ячейке с координатами х - vxdt, у - vydt, : - u:dt\ vx axdt, и,, avdt, uz -
- a:dt. Это будет достаточно точно, если только интервал времени dt настолько мал (dt < т), что столкновения не успевают сильно изменить само статистическое распределение (т.е. v и а ). Тогда можно считать, что величины объемов элементарных ячеек тоже не меняются за время dt, т.е. dTr-vutdTv-adt = drrdrv. Таким образом, диффузионное и полевое изменение п будет равно
(би)диф + (5/ТХюле =«('’-у-adt, t+dt)-n(r,v,t) или, в силу малости dt.
где V;- и Vv — соответственно операторы градиента в г-и v-пространствах.
В-третъих, п (г, у, /) может меняться из-за дискретных изменений в скоростях частиц в моменты столкновений. Для расчета введем представление о среднем числе столкновений (так называемая гипотеза молекулярного беспорядка). Обозначим вероятность того, что за единицу времени частица со скоростью v изменит ее и попадет в интервал v +d\, через t>(v,v')X X [1 и (г, v',/)| .Тогда, в силу гипотезы молекулярного беспорядка, плотность числа частиц, скорость v которых за единицу времени принимает любое другое значение v', равна
/drr drv п (г, v, t) = N,
(3.154)
= — vVrn - a Vv/i,
(3.155)
b_ = n (r, v, t) fdv'i>(v,v') [ 1 - /I (r, v', 0|.
(3.156)
Плотность же числа частиц, которые за единицу времени приобретают ско 150
рость v, имея до этого любое другое значение v ', будет
b+ = [1 - /7 (г, v, /)] / d\'v(y', v) п (г, v', /). (3.157)
Для полного изменения я за единицу времени из-за столкновений имеем 1 дп
¦b+-b_. (3.158)
(v)
Сумма (3.155), (3.158) и dn/dt дает полное изменение функции распределения за единицу времени, которое, в силу соображений непрерывности, равно нулю. т.е.
dii дп / Эп \ ( дп \
---------+ ------ + ---- +b.-b =0. (3.159)
dt dt \ dt J . \ dt )
диф поле
В случае установившихся процессов функция распределения п явно не зависит от /, и поэтому
dn/dt = 0. (3.160)
Тогда для таких процессов из (3.159), (3.160), делая замену по (3.155), имеем
vVrn +aVvn = b+ - b_. (3.161)
Мы получили кинетическое уравнение Больцмана. Из него видно, что
в стационарном случае диффузионные и полевые изменения полностью
компенсируются процессами рассеяния и в однородном образце металла
без градиента температуры и внешних полей (при Vrn = 0)
b+=b_, (3.162)
т.е. числа частиц, теряющих и приобретающих при рассеянии данную скорость v, равны между собой. Отсюда, в частности, можно найти равновесное значение функции распределения п0. В присутствии полей Ь+ФЬ_, и п
отличается от й0- Если поля слабы, то можно считать, что функция я в
каждой точке фазового пространства мало оличается от своего равновесного значения, т.е.
