Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
п =й0 +й|, ni<nQ. (3.163)
При решении интегродифференциального уравнения (3.161) обычно вводят следующие упрощения: во-первых, электроны испытывают, в основном, только упругие столкновения с ионами металла. При этом легкие электроны (по сравнению с ионами) передают ионам лишь незначительную часть полной кинетической энергии (только накопленную за время т в поле); кроме того, рассеяние электронов при столкновениях предполагается изотропным, поэтому вероятности столкновений ^(v,v') в (3.166) и
(3.167) зависят не от направления векторов v и v', а только от угла между ними. Таким образом, поскольку согласно первому предположению энергия электронов при столкновении почти не меняется, т.е. I v I « I v’ I, то функция y(v, v') зависит лишь от I v I и угла между v и v\
1 Множитель 1 - п в bt связан с принципом Паули, запрещающем расссянис в занятое состояние (л = 1).
151
Вычислим теперь b+ - Ь_ в (3.161). В силу того же предположения, функция y(v, v') отлична от нуля лишь при | v | = | v' | • Поэтому из требования конечности полной вероятности столкновения fd\'v(v, v) сразу следует, что при v = v функция v(v, v') должна обращаться в 5-функцию
5 (и — и ). Для того чтобы не иметь дела с разрывными функциями, можно ввести другую функцию столкновений
т](и; в, & в', <fi') sin e'dd'dy, (3.164)
которая определяет вероятность того, что частица, летящая со скоростью v в направлении в, iр, при рассеянии отклонится и полетит с той же скоростью в направлении в', (с точностью до элемента телесного угла sin 6'd6'd*p'). Между функциями v и т\ существует очевидная связь
77(и;0,^;0’,^')= f dv'v'2 i>(v, v'). (3.165)
о
Используя (3.165), можно записать (3.156) и (3.157) в виде
Ь_ = я (г, v; /) Jd^p'dO' sin в' [1 - я (г, v'; /)] rj(v; в, <р; в', <$') (3.166)
и
b+ = [1 ->?(r,v;0] fdtp'de' sin 0(г, v'; /) 17 (и; 0', ; 0, ^j). (3.167)
Если усилить второе предположение, допустив, что функция столкновений вообще не зависит от углов, а зависит только от и, то, заменяя п по (3.163), находим
Ь+ - Ь_ = {[(4я)-1 /d6 sin Qdtpn 1 ] - nt } 4irr](v). (3.168)
Из (3.168) видно, что в этом приближении Ь+ — Ь_ линейно зависит от возмущения функции распределения я,. Множитель 4ят](и) в (3.168) равен полному числу столкновений, испытываемых электроном за единицу времени. Его обратная величина имеет размерность времени и является знакомой нам величиной — временем свободного пробега Т (см. § 3.3):
7 (и) = (4тгт7 (и))-1. (3.169)
В принятых приближениях это время равно времени установления статистического равновесия при включении или выключении внешних полей, т.е. времени релаксации для неравновесной функции распределения1. Действительно, из (3.159) при dn/dt ФО и (Эя/Э/)диф = (Эя/Э/)поле = 0, в силу
(3.168) и (3.169), имеем
Эя Эя,
— ----- = Ь+ - Ь_ - — [7-(и)] [я ] — (4я) JdifidO sin вп t], (3.170)
dt dt
Величину n ] обычно можно представить в виде
Й1 =ViX(v), (3.171)
где / = х, у, г, и поэтому /dipd6 sin впх = х(и) f d^pdO sin Ovj = 0. Тогда из (3.170) имеем
п i(t)=n i (0) ехр (— t/т), (3.172)
1 Если величина tj существенно зависит от углов, времена релаксации энергии и импульса могут отличаться друг от друга (см. гл. 5) .
152
Таким образом, мы приняли здесь приближение одного времени релаксации, которое часто оправдывается на опыте. Однако могут быть случаи, когда необходимо вводить несколько времен релаксации для разных изучаемых явлений. Кроме того, надо учитывать, какая равновесная функция распределения п0 входит в член столкновений Ь+— Ъ_. Это может быть функция, зависящая от локальной плотности частиц р(г) (при пространственно неоднородных системах), т.е. й0[р(г)]. Или же эта функция зависит от средней электронной плотности р (не зависящей от координат). Так, в формуле (3.163) мы положили
й = п0 (Р) + п i.
Поэтому правильнее записать (3.170) так:
Ь+- Ь_=- {п - п0(р))/Т = - (п - п0(р))1т + [йо(р(#0) -п0(р)\/Т =
= - п ifr +Ь„п01т,
5„ п0 = и о [Р ('")] - "о О»)-
Член с 5Пп0 в уравнении Больцмана часто опускают, но, когда мы имеем дело с пространственной неоднородностью (когда р = р(г)), его следует учитывать.
Переходя к конкретным кинетическим эффектам, напомним, как в ква-зиклассическом приближении следует определять ускорение а в (3.155) при наличии электрического Е и магнитного Н полей. Уравнения движения Ньютона в этом случае гласят:
где первое слагаемое дает величину кулоновской электрической и второе — лоренцевской магнитной сил.
3.6.2. Электропроводность
Рассмотрим пространственно однородный случай, когда Т= const, магнитного поля нет, а электрическое направлено по оси х: Е= (Ех, 0, 0). Тогда из (3.173) имеем
