Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 68

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 164 >> Следующая


p2J2m -*¦ е - р]/2т = 2цвН (/ + й),

pjdpj^ -*¦ 2ггц1ВНЫ = 2 тцъН,

ибо Д/ = I. Если вспомнить, что величина элементарной ячейки по (3.26) равна h3IV, и учесть спиновое вырождение, то, заменяя дБ по (3.92), для g, будем иметь

g, = 2irp1dp1dpz2V/h3 = 2эт • 2 тцвН (2 V/h3) dp, =2 le \ VHdpz/h2c.

(3.124)

Подставляя (3.124) и (3.120) в (3.123), находим1

Z(Т, Н) = +? /°° dpz 2\е\ VH/h2cX 1 = 0 —

X ехр { - [МБЯ(2/ + I) + pll2m] (kBTJl) =

= (lei VH/h2 c)(2irmkBT)1^2 [sh (pBH / kBT) ]“' =

= (2irmkBT/h2 )г I2 (fiBH/kBT)[sh (vBH/kBT)]~l. (3.125)

1 Здесь введена новая переменная хг = pl/2mkBT, использовано условие

+ оо +<»

/ dx ехр ( X2 ) =п'1'н i; ехр [ (2/ + 1) цвН/квТ\ =е (1 + е~гУ + е~4у + . . .) = О 1=0

-е ¦ (1 е ; )¦' = (2 shуТ1 , где у - *B/I/JiBT.

142
В силу (3.122), для намагниченности получаем / = Nk б Тд In Z/ЬН =

= -Ыць [cth (цБН/кБТ) -кБТ/циН] =

= -ЫцБЦцБН1кБТ), (3.126)

где I. (х) = cth х - х~х - функция Ланжевена. В случае слабых магнитных полей и не очень низких температур, т.е. при условии цБН < кБТ,выражение (3.126) принимает более простой вид (/, (д‘) % х~' + х/З -

- л-3/45 + ... — х'1), и для восприимчивости получаем закон Кюри

Хдм = >щЦЗкБТ (3.127)

Из (3.127) следует, что в’’классическом” случае диамагнитная восприимчивость электронного идеального газа по абсолютной величине равна 1/3 его парамагнитной восприимчивости (см. (3.93) или (3.1076)).

При выводе (3.127) считалось, что электронный газ, хотя и обладает квантовым спектром, но подчиняется классической статистике, в то время как он подчиняется статистике Ферми - Дирака. Однако из (3.127) можно найти правильное выражение для Хдм. не производя заново статистического расчета, а используя уже известный метод Френкеля, заменяя полную плотность п в (3.127) ее термически возбужденной частью (3.42). Если еще учесть множитель 3/2 (см. переход от (3.94) к (3.98)), то для диамагнитной восприимчивости получаем (Ландау, 1930)

Хдм = -иДв/гГо =-(4ш*Мб/Л2)(я/3)2/3н1/3. (3.128)

Остановимся теперь на более строгом выводе (3.128). Для этого надо найти термодинамический потенциал il(T, ?) идеального ферми-газа со спектром с„. Он может быть легко найден с использованием функции распределения (3.28) и термодинамического соотношения

/V = 2 л(е„) = Z |ехр((е„ - ?)Аб 7") + 1 ]"' = - ЭГ2/Э?. (3.1 29)

и v

Интегрирование по ? дает

П = - кБТ1,[п |1 + ехр((? - Си)/кБТ)\ + С, (3.130)

V

где С не зависит от ?. При $1кБТ-> °° должно быть П = Н — f/V = Е (е„ — !"„),

". Су < ?(,

откуда находим С = 0. Подставим в (3.130) вместо е„ спектр Ландау (3.1 18) и положим V= \ , т.е. N=n. Это дает

П = — (вшн/Л3 ) ? / dpz In 11 +

1 = 0

+ ехр |(? - 2цБН(1 + Уг) - рЦЪп) (кБТу' ||. (3.131)

Здесь мы использовали формулу (3.124) для #/, отнесенную к единице объема. Сум-

мирование в (3.131) можно произвести с помощью формулы Эйлера 1 , которая с точностью до принятых приближений имеет вид

б-l Ь 1 1

? /(/+ '/:)= / сАДл) — /"(*)+ — Г (а). (3.132)

1=а а ^ ^

'См., например, Майер Дж., Гепперт Майер М. Статистическая механика. - М.: Мир, 1980.

143
Формула (3.132) применима при условии, что функция /(х) близка к линейной в интервале (а, b) между двумя значениями аргумента х, отличающимися на единицу, т.е. при условии

I/С-v + 1/2) - f(x - 1/2) -/'(.v)l •« |/(.х)|.

Подынтегральная функция в (3.131) заметно изменяется в интервале для /, равном к^Т/ц^Н в некоторых точках всего интервала изменения /, т.е. О < / < ”. Поэтому формулу Эйлера (3.132) можно использовать для вычисления (3.131) лишь при условии

»ьН

¦f- ч 1, (3.133)

т.е. в области слабых полей и не очень низких температур. При этих условиях, согласно (3.132) , формула (3.131) для П принимает вид

4-00 +оо

П = - 8птцБНкБТ1г3 J dp: J dx In { 1 + ехр [(f - 2цБНх -—00 "о

- р\12т) (къТ)-' ||+ (2тг/ч/3/|3) )* / dpz { 1 - ехр [(рЦ 2m - f) (кБТ)~' .

(3.134)

Переходя к новым переменным (сначала 2ц^Нх=у, затем р\/2т - z и, наконец, у + z = -ц) и изменяя порядок интегрирования по г и т), получаем вместо (3.134)
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed