Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(2.29)
COg (_ )щ a x =a'/2[(l/M + 1 bn) - I 1/M - 1//П | ]
Из закона дисперсии (2.29) снова видно, что частота - периодическая функция q. Теперь зона возможных q из-за удвоения параметра, вместо (2.15), будет
-vl2d <q <n/2d. (2.30)
График (2.29) приведен на рис. 2.5. Из него видно, что двухатомная цепочка имеет две ветви частот. Одна из них w4(_), при</ =0 имеет Wo(-) = 0, а при малых q(qd< 1) имеет место линейный закон дисперсии
соч(_) *qd [2а 1(т +М)\ 1/2. (2.31)
похожий на (2.16) для одноатомной цепочки (рис. 2.3). Это — акустическая, или дебаевская, ветвь. При малых q она аналогична закону дисперсии дебаевского континуума. Частота на краях зоны (q = ± эт/2</) по (2.29) равна
, j2 | (2а/т)112 при in > М, |(2a/Af)' I2 при М > т.
Вторая ветвь w4(+) - оптическая, или борновская. При малых q обе ветви разделены по частотам (рис. 2.5). На краях же зоны при q = ± n/2d они сближаются, но все же между ними остается ’’щель”
Дсо = соч(+)(±я/2с/)-соч(_)(±я/2с/) = ±(2а)|/2 (1/М|/2 - 1/ш|/2),
(2.32)
(знак плюс при М <т и минус при М>т). Значение предельной частоты оптической ветви при q = 0 равно
«,(+)„,„= (2a)'/2 (1/М+ 1/w)'/2. (2.33)
Предложим читателям в качестве задачи доказать, что колебания акустической ветви происходят в двухатомной цепочке так же, как и в одноатомной (два соседних разноименных иона колеблются в фазе). При колебаниях оптической ветви соседние положительные и отрицательные ионы колеблются в противофазе, т.е. в каждой ячейке происходят оптически активные колебания электрического дипольного момента. Для поперечных колебаний это видно на рис. 2.6. В реальных ионных кристаллах частоты опти-
69
-rt/Zd 0 n/2d (J
5)
Рис. 2.5. Закон дисперсии для частот колебаний акустической оптической
ветвей колебаний двухатомной линейной цепочки атомов:
I - акустическая ветвь, 2 - оптическая ветвь.
Рис. 2.6. Модель акустической (а) и оптической (б) ветвей колебаний в линейной двухатомной цепочке (для одинаковых длин волн).
ческой ветви лежат в области инфракрасных волн. Поэтому эти кристаллы хорошо поглощают инфракрасный свет (см. ниже § 2.6).
Сравним законы дисперсии одноатомной (рис. 2.3) и двухатомной цепочек (рис. 2.5). В первой можно формально увеличить параметр вдвое. Тогда размер зоны в ^-пространстве уменьшится вдвое (от — я/2d до n/2d), и можно, путем смещения участков Л5 и А'В' кривой шч соответственно влево и вправо вдоль оси q на величину tt/d (или - тт/d), изобразить закон дисперсии одноатомной цепочки двумя ветвями, как это видно на рис. 2.7. В отличие от рис. 2.5, в точках q = ±nl2d нет щели между акустической и оптической ветвями. Обе эти ветви на рис. 2.3 в точках А и А непрерывно переходят одна в другую. Произведем теперь видоизменение кривых рис. 2.5. Воспользуемся тем, что функции периодические, и рас-
смотрим на оси q еще один период (от — nl2d до — яД/ и от nl2d до тт/d), как это показано на рис. 2.8. Из сравнения с рис. 2.3 видно, что при переходе от одно- к двухатомной цепочке при q = ±n!2d появляются новые грани-
Рис. 2.7. Формальное изображение двух ветвей в спектре колебаний одноатомной цепочки путем удвоения се периода (d -> 2d).
Рис. 2.8. Закон дисперсии для частот колебаний двухатомной линейной цепочки в предстаилении расширенных зон.
цы зон, на которых происходит расщепление спектра частот — появляется щель Аи>. Представление спектра частот на рис. 2.5 называется представлением в приведенной зоне, а то же на рис. 2.7 — представлением расширенных зон (см. ниже гл. 4).
2.2.3. Случай трехмерного кристалла
Переход к двух- и трехмерной решетке значительно усложняет задачу. Так как в трехмерном случае число компонент вектора И/ равно трем, то уравнение для определения акустической ветви будет не линейным, а кубическим. Смысл его трех корней можно понять в предельном случае малых с/, переходя к дебаевскому приближению упругого континуума. Из теории упругости известно, что в среде возможны три ветви акустических колебаний с различными скоростями и поляризациями. Если среда изотропна, то одно из колебаний имеет продольную поляризацию, т.е. вектор смещения параллелен направлению распространения соответствующей волны со скоростью v\'\ Два других колебания имеют поперечную поляризацию с одинаковой скоростью и^ (чаще всего из^<'(4/|) и с вектором смещения, нормальным к вектору распространения. Поверхности постоянной частоты Шд1^ и в пространстве q (при малых <у), где справедлив
линейный закон дисперсии, имеют вид концентрических сфер (рис. 2.9, а,б). Все это усложняется при значениях q, близких к границам зон. а также при учете анизотропии реальных кристаллов. В частности, поверхности постоянной частоты могут существенно отличаться от сфер (см. рис. 2.9, б).
