Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
SS*
при q -*¦ 0, Шд -*¦ 0 и существуют три решения аЧ^ , не зависящие от s', для j = x,v,z. Существование акустических ветвей, для которых =0 при q - 0, вытекает, таким образом, их трансляционной инвариантности решетки. Это есть частный случай очень важной теоремы Голдстоуна, связывающей свойства симметрии системы с существованием в ней низкочастотных мод и имеющей многочисленные приложения в теории магнетизма, сверхпроводимости и фазовых переходов.
73
Рис. 2.12. Поверхности постоянной частоты иijj'^ = const в пространстве волнового вектора q для одной из ветвей колебаний в схеме расширенных зон.
При росте | ф| и приближении к границе зоны линейность нарушается; на самой границе, в противоположность одномерному случаю (рис. 2.3), точка с горизонтальной касательной может и не достигаться. Однако кривые оjq в общем случае остаются периодическими; период связан с векторами обратной решетки. Именно, точки q иq + Ь* (гдеЛ* - вектор обратной решетки) эквивалентны, т.е. имеют одинаковые значения = ш^+ь" ¦
В случае двухатомного ионного кристалла с а = 2 уравнение для ш* будет
шестой степени, и в общем случае получаем шесть ветвей спектра (<jOq\ i = = 1, 2, 3, . .. , 6) — из них три акустических и три оптических. Схематически (для какого-то направления q) это изображено на рис. 2.11. А на рис. 2.12 в схеме расширенных зон показана (для некоторых определенных сечений в пространстве q) картина периодических поверхностей постоянной частоты для одной из ветвей спектра В общем случае число ветвей спектра будет равно За:
c4h, (s= К2........а). (2.44)
2.2.4. Квантование колебании ионной решетки
Прежде чем приступить к рассмотрению физических свойств ионных решеток, дадим квантовое описание их колебаний. В § 1.8 отмечалось, что для решения задач многих частиц эффективен метод унитарных преобразований, который позволяет придать члену взаимодействия в гамильтониане диагональный вид и, тем самым, приближенно описать сложное движение системы как движение идеального газа квазичастиц. По существу зто и делалось в рассмотренных классических задачах колебаний цепочек и трехмерного кристалла. Действительно, решение (2.10) или (2.13) и есть унитарное преобразование, диагонализирующее задачу о колебаниях це-
почки. В этой классической задаче элементарным возбуждением является синусоидальная волна.
Выясним, как это видоизменится в квантовом случае. Добавим к операторам обобщенных координат й/ операторы сопряженных импульсов р/,
тогда оператор кинетической энергии будет Т= Y. р2/2т, где суммирова-
/
ние идет по всем N узлам цепочки, а оператор потенциальной энергии в приближении ближайших соседей дается (2.8). Гамильтониан системы 70 равный сумме операторов Г и V, будет
7f = Т + V = Z(pf 12m + аи2) -
'?(й,й, + и+й,и,_и) = 'Е(р]12т+аи])-а'?й,й, + и, (2.45)
где операторы М/ и pt удовлетворяют перестановочным соотношениям Iи/, Р/] _ =/hS//\ [м/, и, ]_ = [р,, р, ]_ =0. (2.46)
л Л Л А Л А
Символ [a, b \ _= ab - Ьа обозначает коммутатор. Первая сумма в правой
части (2.45) — оператор энергии N независимых гармонических осцилляторов, а вторая — учитывает взаимодействие ближайших соседей в цепочке. Унитарное преобразование, диагонализирующее (2.45), имеет вид
й/ = N~1 ?
Я
л 1 л
Uq cos ql-------------Pq sin qI
Pi=N lt2 2 \mcoqUq sin q( + Pq cos ql], (2.47)
я
л
где шч дается по (2.12), а операторы Uq и Pq удовлетворяют, в силу (2.47) и (2.46), перестановочным соотношениям
\Uq, ?,¦]_ =№«„¦, [Uq, U4-]_ = [Pq,Pq ]_ =0, (2.48)
что предлагается доказать читателю в качестве упражнения. Используя (2.47) и (2.48), можно показать, что гамильтониан (2.45) примет диагональный вид в новых переменных
Ж' = ? [Р2/2т + (тшгч12) U2], (2.49)
зто тоже предлагается доказать читателю. Оператор (2.49) равен сумме гамильтонианов линейных гармонических осцилляторов с частотами u>q. Энергия системы равна сумме энергий таких осцилляторов
? = j:(n4 +1A)huq, nq= 0,1,2,... (2.50)
я
Таким образом, колебание цепочки представлено как ”газ” независимых эффективных осцилляторов — квантованных звуковых волн с частотами Квантованную звуковую волну с волновым вектором ц, частотой шч и энергией (nq + H)hco(/ можно рассматривать как совокупность nq квантов с энергией hco,, каждый и с энергией нулевых колебаний Эти кван-
ты называют фононами. Иногда, не совсем правильно, их называют квантованной звуковой волной. В действительности со звуковой волной связано пц. фононов, да еще нулевая энергия. Поэтому фонон следует называть