Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим закон дисперсии (2.12) при малых волновых числах ((/с/<^1), когда синус можно заменить его аргументом, что даег линейную
66
зависимость
coq ~ ( \Jafm d) q = v52я/Х. (2.16)
Здесь вместо ц введена длина волны X:
X = 2-n/q, (2.17)
а и, — скорость распространения колебаний (звука):
vs = у/а/ш'd. (2.18)
В данном приближении us - постоянная величина.
Из (2.16) видно, что линейный закон дисперсии справедлив как для длинных волн (X S> с/), так и для обычных упругих волн сплошной среды. Поэтому при \>d линейная цепочка атомов ведет себя, например, как массивная струна. Именно это позволило П.Дебаю (1912) развить теорию тепловых колебаний твердого тела, рассматривая кристалл как сплошную среду с независящими от частоты упругими постоянными. Он использовал два основных предположения: распространение упругих акустических колебаний в твердом теле совпадает с тепловыми колебаниями его атомов и волновой метод можно применять к расчету тепловых колебаний, поскольку в задачах акустики он дает хорошие результаты. В теории Дебая возникла трудность при подсчете числа возможных частот. В теории континуума допускается существование бесконечного числа обертонов колебаний (например, в струне и стержне нет ограничений спектра со стороны максимальных частот или минимальных длин волн Xmin). В теории
дискретного кристалла Xmjn определяется его атомной структурой - величиной параметра решетки c/(Xmjn ~ d). Поэтому Дебаю пришлось’’обрезать” спектр при Xm jn.
Рассмотрим теперь асимптотику закона дисперсии при больших q, т.е. у границы зоны (2.15); здесь линейный закон дисперсии не выполняется, скорость (2.18) уже не постоянная, а зависит от q. На краях зоны q = ±7ijd и величина X достигает минимума, a ojq — максимума:
^min ~ 2тг/| qmах I — 2d И tJmax ~ 2 . (2.19)
и кривая <jjq имеет касательную, параллельную оси q (рис. 2.3).
Во многих задачах, где используется спектр колебаний кристалла, например при расчете теплоемкости, необходимо знать распределение частот по спектру. В одномерном случае обозначим число нормальных колебаний на единичный интервал значений q через и> ((/) и назовем эту функцию плотностью состояний в ^-пространстве. Из (2.14) следует, что одно колебание приходится на интервал Дq = 2irlNd. Поэтому
w(q) = Nd/2n. (2.20)
Нас будет интересовать число состояний, или спектральная тотность D(u))du> на интервал частот dи> при частоте cj. Между функциями w(^) и D(cj) имеется связь
dq
w(q) -----dco = D(oj) doj. (2.21)
du)
Таким образом, для определения D(oj) надо знать производную dqjdcj, ее
67
Рис. 2.J. Закон дисперсии дня частоты колебаний одноатомной цепочки атомов.
находим из (2.12), которое записываем в виде q = (2/J) arcsin (ш/штах).
Следовательно, в нашем случае d(l/dco = (2/d)(u>2max -Л)-112, и, в силу (2.20) и (2.21),
tty 1 * * _______________1/2
D(u>) = w(cj) — =— N{u>max -ю ) а со тт
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Из (2.24) следует, что на границах зоны (ш = штах)функция?)(ш)имеет особенность (стремится к °°). В двух- и трехмерных решетках определить D(lo) гораздо сложнее.
2.2.2. Линейная двухатомная цепочка
Обобщим рассматриваемую задачу, добавив в элементарную ячейку второй ион массы М и расположив его точно посередине между ионами массы т. Параметр этой решетки будет 2d (рис. 2.4). Смещения обозначим через Ut и и,, а силовую постоянную - опять через а и ограничимся приближением ближайших соседей (в данном случае между различными ионами) . Уравнения движения, подобные (2.11), имеют вид
MUq = - 2aUq + 2а cos qd • uq, miiq = — 2auq + 2a cos qd • Uq,
(2.25)
И
Uq =Aq exp (- iu>qt), uq =Bq exp(-iioqt).
Подстановка (2.26) в (2.25) дает ,2’
(2a - Mcoq)Aq — 2a cos qd ¦ Bq = 0,
0.
(2.26)
(2.27)
— 2a cos qd ¦ Aq — (2a - m<jOq)Bq
Уравнения (2.27) имеют ненулевые решения при частотах, обращающих в нуль определитель системы:
2а - Mcoq - 2а cos qd
— 2а cos qd 2а- mcoj.
= 0.
(2.28)
68
Рис. 2.4. Одномерная модель двухатомного кристалла из разноименно заряженных ионов различных масс (т и ЛЛ .
Корни (2.28) равны
со
4(0
= а
1 1
— + — | ± а М т
1 1
---- -(-----
М т
. 4 sin2f/t/ Mm
1/2
