Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
0D/Т
I (x*/x2)dx = 'h(QD/T)3.
о
Тогда легко видеть, что (2.72) примет вид Cv =3R, т.е. снова приходим к закону Дюлонга и Пти. При низких температурах верхний предел интеграла в (2.72) можно заменить так: @в/Т ->°°, и мы приходим к табличному интегралу
/ хАех(ех - \ y2dx = 4тт4/15;
о
тогда для Су находим
О~(12я4/5)Я(7У0о)3, (2.73)
т.е. ”закон Т3 Дебая”. Из рис. 2.13 видно, что он очень хорошо описывает опытные кривые в области низких температур. Температура ©о определяется по опытным данным и сводится в таблицы. Приведем некоторые ее значения:
Mg - 406 К, Сг - 402 К, Fe - 467 К, Си - 399 К, Ag - 225 К.
В металлах при самых низких температурах, а также в некоторых других случаях, наблюдаются отклонения от закона Т3. Объяснения этому будут даны ниже в гл. 3.
Несмотря на блестящее согласие с опытом, теорию Дебая нельзя считать строгой, в силу упрощений, положенных в ее основу. Одним из самых главных упрощений является выбор квадратичной зависимости для спектральной плотности D(u>), которая может радикально отличаться от ее истинного вида (исключая область очень малых частот). На рис. 2.15 в качестве примера показаны функции D(u>), рассчитанные В.Овертоном1 с помощью метода подбора корней2. На рисунке изображены кривые для трех акустических ветвей меди, буквами F и S отмечены особые точки функции D(u>). Из кривых рис. 2.15 видно, что их начальный участок хорошо аппроксимируется параболой Дебая (2.61), что и объясняет согласие его теории с опытом при малых частотах.
1 Overton W.C. VII-th Intern. Conf. Low. Temp. Phys. - Toronto, 1У60, p. 677.
’ Детали можно найти в цитированной монографии Марадудина и др.; см. там § 5, гл. 3.
80
?>(ш)/?>(ытах)
5
/s+
D(aj)l
О
0,4 0,8 1,2 UB 2со/ы,
max
Рис. 2.14. Спектральная плотность по Дебаю.
Рис. 2.15. Спектральная плотность ?>(ш)/?>(ытах) как функция ш/штах для кристалла меда, рассчитанная методом подбора корней для модели, в которой учтены взаимодействия между атомами до второй координационной зоны (см. рис. 9 в цитированной монографии Марадудана и др.) : кривая 1 соответствует ветви продольных колебаний, а кривые//и/// - соответственно двум ветвям поперечных колебаний, F -особенности, обусловленные несингулярными критическими точками, S особенности, обусловленные обыкновенными седловыми точками.
Любая попытка вычислить функцию D(со) сводится к задаче численного расчета. При этом надо исходить из общих уравнений (2.43). Однако и без численных расчетов можно сделать качественные предположения о виде функции D(со) на основе чисто топологических теорем. В частности, можно показать, что существование критических точек в семействе поверхностей со, = const в ^-пространстве и сингулярностей функции D(со) есть необходимое следствие периодичности решетки; впервые это исследовал Л. Ван Хов (теорема Ван Хова)1.
Не имея возможности подробно останавливаться на этом вопросе, проиллюстрируем этот метод для случая одной ветви спектра, следуя изложению Займана2. В согласии с определением функции D(со) (см. (2.20) или
(2.68)), можно написать
здесь интегрирование ведется по объему слоя в ^-пространстве, где частота Шд заключена в узком интервале со < со^ < со+^со. Интеграл в (2.74) можно преобразовать, если элемент интегрирования выбрать не в виде dqx dqy dqz, а в виде бесконечно малого цилиндра, боковая поверхность которого перпендикулярна поверхности со^ = со с площадью основания dS^ и высотой
dqL =dco/|grad со, | = Jco/| uq |; (2.75)
здесь grad со ={(Эсоч/Э^х), (Эсо^/Э^,). (ЭсOq/dqz)} — градиент частоты — вектор, имеющий размерность скорости (в модели Дебая это константа и3) ; направление его совпадает с нормалью к поверхности со^ = со. В итоге
1 Van Hove, L. - Phys. Rev. 1953, v. 89, p. 1189; см. также цит. монографию Марадуди-
на и др.; см. § § 1 - 4, гл. 3.
2 Займан Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1966; § 5, гл. 2.
6. Зак.768 81
D(oj)du> = (ис/8 я3 )fdq\
(2-74)
этого преобразования формула (2.74) примет вид D(<o)du = (ис/В7г3)/ J dS^dqL.
(2.76)
Подставляя (2.75) в (2.76), находим
D(to)= (ис/8тг3) J (dS^I\ \q i). (2.77)
Формула типа (2.77) будет использована для выяснения сингулярностей функции D(oj) , а ниже — для расчета плотности электронных состояний в металлах (см. гл. 4). Очевидно, что сингулярности должны возникать в некоторых критических точках qKp, для которых величина обращается в нуль, т.е. частота в этих точках оказывается локально "плоской” функцией. Рассмотрим эту функцию вблизи критической точки, разложив ее там в ряд по степеням разности у = q — qKp. Линейный член в этом разложении отсутствует, ибо, по определению критической точки, в ней = = VqOJq =0. Квадратичные члены, после приведения к нормальному виду (к главным осям), сведутся к сумме квадратов
