Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь движение ионов в решетке. Уже отмечалось, что их тепловое движение в кристалле носит характер малых колебаний около узлов решетки и согласно квантовой механике при О К ионы обладают энергией нулевых колебаний, играющей важную роль в квантовых кристаллах. В других телах амплитуды этих колебаний столь малы, что процесс кристаллизации происходит гораздо раньше, чем начинает сказываться эффект нулевых колебаний энергии. В твердом состоянии других инертных газов, кроме гелия, от неона до ксенона, эта энергия также заметно проявляется, в основном, при низких температурах и нормальном давлении. Поэтому кристаллы этих элементов можно считать близкими к квантовым (см. п. 1.7.7). В итоге можно сказать, что для подавляющего большинства твердых тел (кроме квантовых кристаллов) при температурах, не очень близких к точке плавления, всегда выполняется условие (1.10), что позволяет воспользоваться теорией возмущений при решении динамических задач.
2.2.1. Линейная одноатомная цепочка 1
Для лучшего представления о характере ионного движения рассмотрим сперва простейшую классическую модель кристалла с одним атомом в элементарной ячейке в виде одномерной линейной цепочки из N эквидистантных (с параметром с!) атомов массы m (рис. 2.2). Такая цепочка может моделировать, например, кристалл любого элемента, атомы которого связаны слабыми поляризационными силами. Обозначим смещение /-го атома вдоль цепочки через М/ и силовую постоянную через а (/ - номер атома в единицах d :/ = O.d, l.d, 2.cl,3.d,...). Поскольку эти смещения малы (ui/d < 1), то потенциальную энергию можно разложить в ряд по степеням разностей этих смещений для пар атомов. Так как колебания происходят около положений равновесия, отвечающих минимуму потенциальной энергии, то разложение должно начинаться с квадратичных членов, учетом которых и ограничимся {гармоническое приближение). Потенциальная энергия V цепочки в приближении ближайших соседей с точностью до аддитивной постоянной имеет вид
V=l-(u, u, + df. (2.8)
i 2
Уравнения движения при этом будут
mu,= -а(2и, - u, + d - и, d), (2.9)
где йI - вторая производная М/ по времени. Ищем решение системы разностных уравнений (2.9) в виде
и, = Uq(t)e\p(iql), (2.10)
возможные значения q подлежат определению из краевых условий, U4(t) —
1 Впервые такую задачу рассмотрел Бернулли Д. (1.728) ; позже она решалась Лагран-жем (см. его Аналитическую механику. - М. -Л.': Гостехиздат, 1950); см. также Бриллюж J]., Породи М. Распространение волн в периодических структурах. - М.: ИЛ, 1959 и Марадудин А., Монтролл Э., ВейесДж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. - М.: Мир, 1965.
5. Зак.768 65
Рис. 2.2. Одномерная модель одноатомного кристалла из атомов массы т.
искомая функция времени. Подстановка (2.10) в (2.9) дает
mUq = — а [2 - ехр (iqd) — ехр (- iqd)] Uq = ~4ctsin2(qd/2)Uq. (2.11)
Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора частоты
со, = 2 у/а/т sin (qd/2). (2.12)
Из закона дисперсии (2.12) следует, что частота — периодическая функция волнового числа q, а решение (2.11) имеет вид
Uq(t)rA4 exp(-iojqt), (2.13)
гдеЛч — комплексная амплитуда колебаний, зависящая отц. Для определения возможных значений q необходимо выяснить условия на концах цепочки. Строго говоря, (2.8) справедливо для бесконечно длинной цепочки, ибо силы, действующие на краевые атомы (и близкие к краям), отличаются от сил внутри цепочки. Это различие особенно проявится, если отказаться от приближения ближайших соседей. Трудность исключается, если цепочку замкнуть в круг так, чтобы последний /V-й атом был на расстоянии d от первого (/ =0). При /V> 1 свойства кольца будут мало отличаться от свойств линейной цепочки с концами. Этот прием предложен М.Борном и Т. фон Карманом (1913). При этом исключаются из рассмотрения поверхностные колебания, определяемые как раз ’’правильными” граничными условиями, но спектр остальных мод почти не меняется. Для кольца имеем и/+ /у(/ = м, или, в случае (2.10) Uq ехр [iq(l + Л'с/)] = ilq ехр iql, отсюда находим exp(iqNd) = 1. Это условие удовлетворяется, если qNd = к2п, где к = 0, ± 1. ± 2, . .. , и для возможных значений q получаем
q = K2ir/Nd. (2.14)
Поскольку Nd > 2тг, ro?(tl - qK = 2ir/Nd 1 Id, т.е. число q для достаточно длинных цепочек изменяется квазинепрерывно. Из-за периодической зависимости от q по (2.12) нас интересуют значения q лишь в пределах
- ir/d<q<ir/d и - N/2 <к <N/2, (2.15)
т.е. число значений к равно N - полному числу степеней свободы линейной цепочки из N атомов. Таким образом, найдены все решения системы (2.9) с помощью подстановки (2.10). Условие (2.15) определяет так называемую зону Бриппюэна для возможных значений волнового числа q. Значения q, лежащие вне интервала (2.15), в силу периодичности зависимости (2.12), приводят к повторению уже известных частот колебаний ионов.
