Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2 Z (Г) п-0
hw д
= ----ЛГМЬ 7Л ,П [ 2 6ХР "hb,/*B Л] =
1 Ъ(\1кБТ) п
3 hoj
=------- In Z(T) +---------. (2.60)
Э(1ДБГ) 2
Используя формулу (2.59) для Z(T), находим hoj Э
е =------+ ----------In [1 - exp (— Ьы/ЛсГ)] =
2 Э(1/*БГ)
fioj hoj
=----+ ---------------------. (2.61)
2 exp (tiui/kБ T) — 1
для энергии киломоля получаем из (2.61)
— 3vVAhu> ЗАдЬо)
? = -------------------- + —--------, (2.62)
ехр (Ьи>/кБТ) 1 2
а для теплоемкости
/ Э& \ exp (hw/fcB Т)
Cv = [—j =3NAkB(hu/kbT? (2.63)
\ ЪТ J v [exp(hcj//:B 7Э —1 ]
Это и есть знаменитая формула Эйнштейна атомной теплоемкости кристалла. Рассмотрим ее асимптотику при высоких и низких Т.
Случай высоких температур кБТ >hw, или Ъш/кБТ< 1; здесь можно воспользоваться в знаменателе дроби правой части (2.63) разложением ехр (Ъи>/кБТ)» 1 + Ьш/кБТ + ... и заменить ехр (Ьш/кБТ) в числителе на единицу. В результате получим С j/ «ЗЛ^дЛб ^3/?, т.е. классическую формулу (2.58), соответствующую эксперименту.
В случае низких температур Ьо)ДБ Т ^ 1 в знаменателе дроби в (2.63) можно пренебречь единицей по сравнению с ехр (Ьш/кБТ). Тогда для Су получим приближенно
Cv ^ 3NAk6(hcj/kGT)2exp(-t\cj/kBT). (2.64)
В пределе Т-+0 экспоненциальный множитель стремится к нулю быстрее, чем возрастает степенной фактор (hu>/k^T)2, и полому по (2.64) Су ->0 при Т->-ОК как ехр(-hui/k^T), что согласуется с теоремой Нернста и качественно с опытом. Однако экспериментальная кривая вблизи 0К следует не показательному, а степенному закону (~ Г3). Это различие, очевидно, обусловлено предположением Эйнштейна об одинаковом значении ш для всех атомных осцилляторов, которое является слишком грубым приближением.
Следующее уточнение теории теплоемкости твердых тел сделал П.Дебай. Он учел, что в кристалле имеются спектры частот колебаний (2.44). Ограничиваясь приближением континуума, он использовал только одну акусти-78
ческую ветвь, предположив, что оптические ветви отсутствуют, а три акустические совпадают. Кроме того, он предположил, что закон дисперсии линейный. Для учета дискретности кристалла и правильного числа степеней свободы Дебай в своих формулах для тепловой энергии кристалла распространил интегрирование не по зоне Бриллюэна, а по сфере в (/-пространстве конечного радиуса qmax (тем самым обрезая спектр со стороны минимальных длин волн Xm;n = 2/7Д/тах). Учитывая, что плотность допустимых значений q в q-пространстве равна V/(2п)3, где V — объем тела (см. (2.19) для одномерной цепочки), значение qmax определяется из соотношения
(4я/3)<7^,ах (К/8я3 ) = N или qmax = (6тг2Л//П,/3 = (6тг2/и«.)1/3, (2.65)
где vc — объем, приходящийся на узел решетки, который можно представить в виде шара равного объема радиуса rs (сфера Вигнера - Зейтца) :
vt- =4/з тг/•?, <ymax =(9n/2)l/3/rs
И
^min “ 2irqmax ~ 2,6 rs. (2.66)
Тогда максимальная частота по Дебаю равна
Шшах — ^jVmax- (2-67)
Кроме того, поскольку в модели Дебая не одна частота, как в модели Эйнштейна, то перейти от (2.61) к (2.62) посредством простого умножения на 3Na нельзя, а приходится интегрировать по сфере Дебая:
_ штах huD(u>) du>
S = / ----------------- . (2.68)
о ехр (heo/kBT) — 1
Для вычисления (2.68) надо знать спектральную плотность D(u>) (см. (2.20)). В рассматриваемом случае величина 0(ш)<]ш равна произведению ЗЛ^д на отношение объема сферического слоя 4uq2dq к объему всей сферы 4тг
Лтах»
Дебая — <?тах.те.
3
D(u>)du> = 3NA4nq2dq/4i лг/max = 9A’aw:/ш^ах</ш. (2.69)
Здесь использовано соотношение (2.67) и линейный закон дисперсии cj = = v3q. Из (2.69) видно, что спектральная плотность по Дебаю имеет вид параболического закона ?)(со) (рис. 2.14). Подставляя (2.69) в
(2.68), находим
_ 9yVih “max cc3d<jj & = —г— / ---------------- .
Wmax О ехр(ЬшДБГ)-1
и для теплоемкости будем иметь Су =(дК/дТ)у =
9NAkB umax (hu>/kBT)2u>2 е\р(Ни>/к^Т) du>
S Л , 2 ------------ (2-70)
umax 0 [exp(hco//rG7') — 1
79
Вводим новую переменную х = \\и>/къТ и определяем температуру Дебая 0D = hwmax/fcB. (2.71)
Окончательно для Су находим
&D/T
Cv=9R(T/QDf f (с'-\ y2x\’xdx. (2.72),
о
Это и есть знаменитая формула Дебая для теплоемкости. В случае высоких температур (Т> 0D) верхний предел интеграла в (2.72) очень мал (®п/Т < ¦4 1), и поэтому подынтегральное выражение можно разложить в ряд по степеням х. В первом приближении это дает
