Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
U>q = сокр + aty] + а2у2 + orгу\ + .. . , (2.78)
где а,- = d2ojq/dyj (/=1, 2, 3). Если всеа, <0, то в точке qKp функция соч имеет максимум, а поверхности cofl=const, по (2.78) имеют вид семейства эллипсоидов. Объем эллипсоида из такого семейства для частоты U3q = из с поверхностью, окружающей точку qKp, равен
(4я/3)(ojKp -со)3/2/1а,а2а3 lI/2.
Дифференциал этого объема после умножения на ис/8тг3 дает спектральную плотность
D(co) = (Uf/4тг3) (сокр - co)I/2 la,a2a3lI/2; (2.79)
здесь со < сокр. Из (2.79) видно, что эта сингулярность не нарушает непрерывности самой функции D(со), но ее производная Э/)(со)/Эсо испытывает разрыв, стремясь к — 00 при oj->-coKp снизу. Аналогичная ситуация имеет место и при минимуме сoq. На рис. 2.15 указаны различные сингулярности D(oS) для акустической ветви спектра меди.
Можно показать, что если одно из а,- имеет знак, противоположный знаку двух других, то появляется седловая точка, для которой опять возникает сингулярность производной Э?)(со) /Эсо. Покажем это для спектра частот на плоской модели решетки. На рис. 2.16 изображено несколько элементарных ячеек — зон в ^-пространстве (gi ,q2). Функция считается периодической и непрерывной. Поэтому можно ожидать, что в каждой ячейке будет, по крайней мере, один максимум (белый кружок Ах, А2, А3, . . .) и один минимум (черный кружок Ви В2, В3, .. .). Если соединить максимумы соседних ячеек, например, As и А6 кривой (/„ на рис. 2.16), то на ней будет, по крайней мере, одна точка, где функция со^ принимает наименьшее для этой кривой значение. Аналогичные точки будут на любой другой кривой, соединяющей максимумы As к А6 (например, на кривых Ua,IIIa и т.д.).
Геометрическое место всех таких точек образует непрерывную кривую В2В5 (1Ь), соединяющую два соседних минимума поверхности На этой кривой будет точка С, где принимает наибольшее значение на этой кри-
82
Рис. 2.16. К методу отыскания ссдловой точки в пространстве волновых чисел.
вой. Эта точка и должна быть седловой, ибо на кривой 1Ь она при движении от Вг к В5 будет соответствовать относительному максимуму, а если двигаться по кривой //0 от As к А6 — относительному минимуму. То же самое применимо к кривым, соединяющим точки А5 и А7, В4 и В5. Поэтому функция ojq имеет в каждой ячейке, по крайней мере, две седловые точки. Эти рассуждения, конечно, усложнятся, если учесть все ветви спектра. Но общий характер рассмотрения останется тем же.
При малых q закон дисперсии является линейным и> ~ q, т.е. дш/lbq = = Vj = const. Тогда из (2.77) следует, что при w<wmax плотность состояний Z)(w)~w2. При температурах именно такие частоты
дают вклад в интеграл (2.68). Тогда, повторяя те же выкладки, что и при выводе (2.73), получим С ~ Т3. Следовательно, закон Дебая Т3 для теплоемкости при низких температурах не есть следствие модельных представлений, а будет иметь место и при строгом расчете, вытекая просто из акустического характера фононного спектра при малых волновых векторах.
§ 2.4. Учет ангармонических членов
До сих пор рассмотрение динамики решетки проводилось в гармоническом приближении. Однако существует много явлений, для которых в принципе нельзя пренебрегать более высокими (ангармоническими) членами разложения потенциальной энергии по степеням смещений. Кроме того, при высоких температурах для лучшего объяснения даже тех явлений, для которых достаточно гармонического приближения, например, для теплоемкости, тоже надо учитывать ангармонические члены. Наконец, в случае квантовых кристаллов, в которых средние амплитуды нулевых колебаний составляют заметную часть параметра решетки, а также во всех веществах вблизи температуры плавления, даже ангармоническое приближение, учитывающее конечное число высших членов разложения, может не дать желаемого результата. Тогда приходится развивать специальные методы, не основанные на теории возмущений.
Здесь, прежде всего, кратко рассмотрим три типичные проблемы из динамики кристаллов, для которых в первом приближении достаточно учитывать первые два ангармонических члена разложения — кубический и четвертой степени: тепловое расширение твердых тел, температурный ход теплоемкости решетки при повышенных температурах и теплопроводность ионной решетки (в чисто качественном рассмотрении).
2.4.1. Тепловое расширение кристаллов
В гармоническом приближении нельзя объяснить тепловое расширение. Это видно из элементарного определения среднего смещения и. Действительно, в гармоническом приближении (2.8) для среднего смещения имеем
и = / и ехр (- аи2/2кБТ) du ( / ехр (— аи2 l2ksT)du) = О,
(2.80)
в силу нечетности подынтегральной функции в числителе. При строгом учете ангармонических членов в (2.34) надо добавить следующие слагаемые:
3 3V
I
m m'm'
s s' s" i /' /"
ms ms m s
Xi")
u(i) uu').u{0..+ ms ms ms
+ I
m m'm" m'
s s' s" s'"
d*V
