Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вонсовский С.В. -> "Квантовая физика твердого тела." -> 34

Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.

Вонсовский С.В., Кацнельсон М.И. Квантовая физика твердого тела. — М.: Наука, 1983. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): vonsovskiykvantovayafizika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 164 >> Следующая


Рассмотрим кратко математическую схему расчета нормальных колебаний атомов трехмерного кристалла. В случае решеток с базисом (см. (1.19)) смещение атома из положения равновесия задается вектором u/s. где I — ’’номер” (вектор) элементарной ячейки, a s - номер атома в ней (s = 1,2,

3, .. ., а). Считая смещения малыми (|u/s\ ld< 1), разложим потенциаль-

,г V)/ ¦

ную энерию \ в ряд по степеням компонент векторов смещения ы/? (/ = .у,

у. z) (см. (2.8) в одномерном случае) и ограничимся членами не выше

квадратичного члена (гармоническое приближение). Тогда имеем

Рис. 2.9. Поверхности (их сечения плоскостью) постоянной частоты колебаний ре:н;т-ки в пространстве волнового числа дня изотропного случая (а) ; для случая реалыгсго анизотропного кристалла (б). Сплошными линиями изображена продольная волна, пунктиром - поперечная.

(2.34)

а)

5)

71
Линейный член в (2.34) отсутствует по той же причине, что и в (2.8), индекс нуль у вторых производных означает, что они берутся при условии и/7* = 0. Уравнения движения для смещений, в силу (2.34), имеют вид

msUH] = ~ 2 [Э2К/Э4»Э^;>]0 „</'), (2.35)

/ .V /

здесь / пробегает по всем jV элементарным ячейкам кристалла. Таким образом, получена система INo связанных дифференциальных уравнений. Начнем с анализа коэффициентов в их правых частях, представляющих собой компоненты в декартовых осях//' тензора второго ранга:

</У = ^^)Эм/у ]0- (2-36)

Тогда (2.35) в векторной форме примет вид

>nsuis = - X Gls, /у и/у • (2-37)

Is'

Отдельные слагаемые в правой части (2.37) равны силе, действующей на атом /, s и вызванной смещениями различных атомов / У. Независимо от природы взаимодействия в идеальном кристалле они зависят лишь от относительного расположения элементарных ячеек, поэтому

G,s. /у = GsAl' ~ О = Gss (п) = С„-(-и): (2-38)

здесь п =/' — / и последнее равенство в (2.38) справедливо лишь для решеток, где каждый атом является центром симметрии. В силу (2.38), уравнения (2.37) примут вид

msuls = - 2 Gss (n) ul + „ s.. (2.39)

ns'

Решение этой системы уравнений ищем в виде

uls(t)=Asq exp [i(ql - uqt)]. (2.40)

Подставляя (2.40) в (2.39), сокращая на схр [i(ql - г)], находим

msiSqAsq = Е [ЕС.„ (л) схр (iqn)] As q = l Gss (q)As q, (2.41)

s' п s'

где введено обозначение

Gv.v'(<7) = X Gss (n) схр (iqn) (2.42)

П

для фурье-образа тензора Gss'(п). Сравнивая (2.41) с исходными уравнениями (2.35) или (2.37), видим, что их число уменьшилось от ЗЛ^адо За. Это прямое следствие трансляционной инвариантности кристаллической решетки. Число степеней свободы остается, по-прежнему, 3No. Поэтому для определения движения всей системы надо знать число степеней свободы для каждого возможного значения вектора q. В одномерной задаче (см. (2.14) и (2.15)) было видно, что граничные условия дают N таких значений, для каждого их них надо произвести расчет отдельно (ибо Ац, Gss (q) зависят от q). На практике вычисления обычно проводят для специального ограниченного набора значений q, взятых из зоны Бриллюэна, а для остальных q решения находят методом интерполяции.

72
Рис. 2.10. Схематическое изображение зависимости частоты oj одноатомной трехмерной решетки (для некоторого направления в пространстве волнового вектора q) для продольных 1. и поперечных колебаний У,, Тг, в переделах одной зоны Брил-люэна.

Rue. 2.11. Изображение закона дисперсии акустических (1-3) и оптических (4-6) ветвей для двухатомной решетки.

Уравнениям (2.41) придают более компактную форму:

? [G,l.(q)-^m^ss5jj]A'.=0. (2.43)

si

Эта система является примером задачи на определение собственных значений и2 и собственных функций А Л . Условием получения ненулевых решений однородной системы (2.43) является равенство нулю определителя из ее коэффициентов. Из получающегося при этом уравнения степени Зо находим корни — ветви спектра gj?. В кристаллах без базиса (о= 1) из кубического уравнения находим три акустических ветви (cjfl ->0 при^ -*0), которые изображены на рис. 2.10 для некоторого направления q. Эти ветви дают линейную зависимость от q вблизи q = Ос наклоном прямых, равным скорости распространения соответствующего колебания.

Остановимся на этом важном вопросе подробнее. Потенциальная энергия

(2.34) не должна меняться при сдвиге всего кристалла как целого, т.е. при u'/s = и1 = const. Предоставляем читателям доказать, что из этого факта следует тождество ? Gss(q = 0) = 0. Таким образом, из (2.43) следует, что
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed