Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
8. Итак, мы рассмотрели сущность шредингеровской теории
стационарных состояний и смысл уровней энергии квантовомеха-ническоа системы. Стационарные состояния отвечают стационарным решениям уравнения Шредингера. Для этих решений плотность вероятности от времени не зависит. Для нестационарных состояний плотность вероятности осциллирует со временем, и частота осцилляции определяется, как это следует из (6d), разностью энергий различных стационарных уровней. Эти частоты представляют собой характеристические частоты системы, для которых можно ожидать излучения или поглощения энергии: на таких частотах система резонирует. Частоты переходов в свою очередь определяют
уровни энергии, с точностью до аддитивной постоянной, которая може! б гть задана, если энергии основного состояния приписать определенное значение. (В нашем примере за уровень нулевой энергии принимается «дно потенциальной ямы».)
Тепепь перед нами возникает грандиозная программа-максимум: решить уравнение Шредингера (соответствующим образом обобщенное для систем из многих частиц) для всех физически интересных случаев, когда теория Шредингера является хорошим приближение'!.
В частности, особенно интересны нормированные к единице стационарные решения: они описывают стационарные состояния и дают их уровни энергии. Нет необходимости говорить, что столь обширная программа далека от осуществления: ограниченность математических возможностей не позволяет получить для сложных систем точные решения уравнения Шредингера. Они известны лишь для некоторых особенно простых систем.
9. При рассмотрении указанной выше программы может, однако, возникнуть вопрос, действительно ли это то, к чему мы стремимся. Подробное обсуждение проблемы «стационарных» состояний в гл. 3 показало, что при более строгом рассмотрении они вовсе не стационарны. С другой стороны, для частицы в «ящике» теория дает нам строго стационарные состояния. Намеченная программа также привела бы к строго стационарным состояниям, в противоречии с известными экспериментальными фактами. Мы здесь сталкиваемся с очевидной ограниченностью уравнения Шредингера: оно не описывает радиационных переходов. Поэтому уравнением Шредингера дело не исчерпывается; что-то еще не учтено. В этом смысле можно провести аналогию между теорией Шредингера и классической теорией, которая принимает во внимание все электростатические взаимодействия между электронами и ядрами, но пренебрегает излучением электромагнитных волн движущимися частицами. Тем не менее можно надеяться, что для атомных и молекулярных явлений уравнение Шредингера представляет собой хоро-
304
шее приближение. Таким образом, можно ожидать, что предсказываемые уравнением Шредингера стационарные состояния должны соответствовать почти стационарным состояниям «истинной» теории и что «средние энергии» последних состояний очень близки к точным значениям энергии, предсказываемым уравнением Шредингера.
10. Прежде чем пойти дальше, познакомимся с некоторыми часто употребляемыми терминами. Не зависящее от времени уравнение Шредингера (4Ь) представляет собой типичное уравнение для определения уровней энергии системы. Перепишем его в символической форме:
Нср (.г)=(х). (10а):
Здесь
(10Ь>
— дифференциальный оператор.
Мы хотим найти решение ф (х) дифференциального уравнения (10а). Оно может иметь решения при любых значениях энергии Е, но не все такие решения физически приемлемы. Поэтому условие-физической приемлемости, в частности требование квадратичной интегрируемости волновой функции *), является существенной частью проблемы. Наложив эти условия, мы обнаружим, что энергия Е не может быть произвольной. Значения энергии Е, для которых уравнение (10а) имеет физически приемлемые решения, назы-в аются собственными значениями дифференциального оператора Н. Соответствующие волновые функции носят название собственных: функций этого оператора.
Теперь нам должно быть понятно название работ Шредингера: «Квантование как проблема собственных значений».
Рис. 'ПА. Частный случай потенциала' приближающегося к постоянному значению V+ и V _ , когда .v стремится к -foe и — со соответственно. Мы хотим исследоЕать свойства уравнения Шредингера для разных значений полной энергии Е. Горизонтальные штриховые линии соответствуют различным возможным значениям энергии
11. Задача о частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками поучительна, но малореальна. Рассмотрим проблему собственных значений в более общем одномерном случае. Предположим, что потенциал V (х) простирается до бесконечности к имеет форму, показанную на рис. ПА. При х-^-\-оо или х-*-— оо потенциал V (х) принимает постоянное значение, равное соответственно V+ и V_. Предположим, что V^V_, и обозначим через У* минимальное значение потенциала.
МыТхотим изучить свойства не зависящего от времени уравнения Шредингера (4Ь) для потенциала V(x). Перепишем эта
