Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи
1. Рассмотрим барьер, показанный на рис. 28А этой главы для случая, когда ?>П.
а) Сначала рассмотрим случай, когда частица падает на барьер слева. Волновой пакет, соответствующий частице, частично отражается, частично проходит в область скачка потенциала. Для рассмотрения этого случая нам нужно такое решение, которое в области справа от скачка представляло бы волну, бегущую вправо. Найдите это решение для всего пространства и получите выражение для коэффициента отражения R, т. е. для вероятности отражения частицы. Коэффициент пропускания Т (вероятность прохождения частицы) будет равен 1—R-
б) Рассмотрим случай, когда частица падает справа. Теперь решение уравнения Шредингера должно соответствовать волне, бегущей в левой части рисунка влево. Найдите решэние для всей области и получите выражение для коэффициентов отражения R' и пропускания Т' = 1—R'. Заметим, что классическая частица в случае, показанном на рис. 28А, не отражается от барьера.
2. Получите точное выражение для коэффициента пропускания в случае потенциального барьера, показанного на рис. 31А, и сравните полученное выражение с приближенной формулой (ЗЗЬ). Удобнее сравнить не сами выражения для Т, а их логарифмы. Приближенная формула является предельным случаем «высокого и широкого» барьера.
3. Представляет интерес рассмотреть специальный пример оптического проникновения через барьер, показанного на рис. 34В. Показатель преломления флинта (сорт стекла) для длины волны 6000 А (в воздухе) равен 1,75. Предположим, что на рис. 34В оптически более плотной средой является флинт, а менее плотной — воздух. Пусть угол падения равен 45°, а расстояние между пластинами равно 0,01 мм. Оцените, какая часть света проникает через барьер. (Не нужно делать точных вычислений, достаточно оценок, основанных на приближенном рассмотрении проникновения через барьер.)
Заметьте, что интенсивность прошедшего света падает экспоненциально с увеличением толщины воздушного слоя между двумя стеклянными призмами. Важным параметром является отношение толщины к длине волны. Заметьте, что составляющая волнового вектора, параллельная плоскости раздела, одна и та же для стекла и для воздуха. Почему?
4. Нас интересует, верен ли рис. 34В. Рассмотрим соотношение между лучами падающего и прошедшего света. Быть может, прошедший луч должен быть продолжением падающего и проходить не так, как показано на рисунке? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимы, пожалуй, некоторые опыты. Пусть толщина оптически менее плотной среды будет порядка длины волны падающего света. С помощью системы щелей создадим крайне узкий пучок падающего света, показанный штриховой линией на нижней части рисунка справа. Тогда мы сможем исследовать прошедший пучок и выяснить, верен ли рисунок. Нет необходимости проделывать этот опыт в лаборатории; можно считать его мысленным экспериментом, так как классическая электромагнитная теория описывает его полностью. Обду-¦майте этот опыт и решите, верен ли рис. 34В.
296
5. Рассмотрим движение частицы в «произвольном» потенциале, например показанном на рисунке. При х, стремящемся к +оо или —с», потенциал V (х) падает до нуля.
Пусть частица с энергией Е приходит слева. Волновая функция имеет вид ф {x) = e‘xliJ\-Ae~ixk ДЛя очень больших отрицательных значений л: и ф (лг) = Be‘xft для очень больших положительных значений х. Чтобы найти обе константы А и В, нужно решить уравнение Шредингера для потенциала V(х), показанного на рисунке.
Мы интерпретировали \А]2 как коэффициент отражения барьера, a [Bj2— как коэффициент пропускания. Если такая интерпретация верна, то
|Л|2 + |В|2 = 1. (а)
Возникает следующий вопрос: выполняется ли написанное соотношение для всех потенциальных функций V(х)? Проверьте это соотношение в общем случае.
Указание. Рассмотрите функцию
F (х) =ф* (х) Ф (х) dffd^--
и покажите, что dF/dx=0, если ф(х) удовлетворяет уравнению Шредингера.
Из этого примера видно, что иногда можно выяснить свойства решения, не имея явно самого решения. В данном частном случае мы нашли важное общее свойство уравнения Шредингера и его решений. Если теория имеет смысл, уравнение (а) должно выполняться.
6. Есть еще интересные вопросы, возникающие в связи с рисунком к предыдущей задаче. Например, одинакова ли прозрачность барьера в обоих направлениях?
Теорема. Коэффициент пропускания для частицы, падающей на барьер слева и справа, одинаков, если энергия частицы в обоих случаях одна и та же.
Докажите эту теорему.
Указание. Заметим, что если рассмотренная в предыдущей задаче функция ф(х) является решением уравнения Шредингера, то решением будет и сопряженная с ней функция ф* (х), а также любая линейная комбинация функций ф(х) и ф* (х). Рассмотрите подходящую линейную комбинацию ф(х) и ф* (*).
7. Многие нестабильные ядра распадаются, испуская позитрон и нейтрино. Энергия позитрона обычно лежит в интервале от 10 кэВ до нескольких мегаэлектрон-вольт. Как мы отмечали, причиной такого распада является слабое взаимодействие. Мы отмечали также, что причиной больших времен жизни (3-активных ядер является крайне малое слабое взаимодействие. Это не исключает возможности, что проникновение через барьер играет важную роль. Исследуйте этот вопрос на каком-нибудь примере. Оцените коэффициент пропускания для позитрона, проходящего через «типичный» потенциальный барьер. Это позволит вам убедиться, что проникновение через барьер не играет заметной роли в (5-распаде.
