Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
*) Schrdditiger Е- Quantisierung als Eigenwertproblem.— Ann. d. Phys., 1926, v. 79, p. 361; v. 79, p. 489; v. 80, p. 437; v. 81, p. 109.
Ю* Зак. 127 299
3. В гл. 7 с помощью ряда правдоподобных рассуждений было получено уравнение Шредингера *)
—Ьг \ 2,Г (х, t) + V (х) ij) (х, t) = iiiJ^ -ф (х, t), (За)
которое описывает поведение частицы с массой т в поле сил, определяемых потенциальной функцией V(х). Мы отмечали, что уравнение Шредингера является лишь приближением: оно справедливо, когда рассматривается нерелятивистское движение и когда игнорируются все явления рождения и исчезновения частиц. Мы объяснили, почему это уравнение оказалось столь плодотворным в атомной и молекулярной физике и даже в некоторых задачах ядерно? физики. В последнем случае мы достигли большого успеха, объяс нив с помощью квантовомеханического туннельного эффекта явление а-распада, в частности зависимость времени жизни а-излучателей от энергии а-частиц.
Для ясности мы начнем, следуя методу, использованному ? гл. 7, с особенно простых задач, которые допускают применение одномерного^уравнения Шредингера
—Ы^ <х’ Г> + V (*) ^ (А'’ = ^ W ^ ^
Математически это уравнение гораздо проще трехмерного уравнения (За), а существенные особенности интересующих нас явлений сохраняются и в одномерной задаче (ЗЬ). Следует также иметь е виду, что это уравнение отнюдь не нефизично, как может показаться на первый взгляд: многие проблемы трехмерного движения действительно могут быть сведены к одномерному движению.
4. Начнем с весьма простой задачи. Рассмотрим движение частицы в «ящике» длиной а с бесконечно высокими стенками. Сплошной кривой на рис. 4А,а показана потенциальная энергия для этой задачи. Потенциал равен нулю для х в интервале (0, а) и обращается в +оо за его пределами.
В п. 26 гл. 7 было рассмотрено движение частицы при наличии одной «стенки» с бесконечно большим потенциалом. Мы нашли решение в виде монохроматической стоячей волны. Оно описывало отражение от стенки частицы, которая могла иметь любое положительное значение энергии Е. Новым моментом в рассматриваемой ситуации является то, что движение частицы ограничено двумя бесконечно высокими «стенками» потенциала. Попытаемся найти решение уравнения Шредингера (ЗЬ), предположив, что оно имеет вид
я]з (х, ^) = <р(л;)ехр(—НЕ/К), (4а)
т. е. что волновая функция г|)(лг, t) зависит от времени через экспоненциальный множитель exp (—itElK). Подставляя это решение в
*) В этой главе мы работаем с системами единиц СГС или СИ.
300
(ЗЬ), получаем не зависящее от времени уравнение Шредингера
<p(x)=[E — V(x)]y(x). (4Ь)
В п. 26 гл. 7 было показано, что в области с бесконечно большим значением потенциала и на ее границах волновая функция обращается в нуль. В нашей задаче волновая функция равна нулю в точках х=0 и х—а и за пределами^интервала (О, а).
V(x)
/5'
п= 4
п=3
n=Z
!-
.17= 1
' 'iU
-30
4
-20
-/О
а
5)
\п=в
П — 1
\п=3
\п=2
п=1
Рис. 4А. Задача о частице в одномерном ящике кажется мало реальной физически. Тем не .менее она является очень простой иллюстрацией сути шредингеровской теории стационарных состояний. На рис. а) показан потенциал, принимающий бесконечно большое значение в точках х = 0 и х~а. В этих точках иолновая функция стационарного состояния должна обращаться в нуль. Это возможно лишь в том случае, если (полная) энергия принимает одно is? значений, показанных на рис. б), где приведена-схема уровней {показаны лишь пергь:е шесть уровней). На рис. е) показаны соответствующие еолноеыс функции (собственные фуккппп) для первых шести стационарных состояний
Внутри одномерного «ящика» общее решение уравнения (4Ь) имеет вид
Ф (х)—А exp (ixk)+B exp (—ixk), (4с)
где _______
k = V2 mE/fa, (Id)
а множители Л и В — постоянные.
Из условия, что волновая, функция^ равна_ нулю при х = 0, следует, что решение запишется в Биде
ц>(х)—С sin(xk), (4е)
где С — не равная нулю постоянная. Волновая функция должна обратиться в нуль в точке х—а, что приводит к условию
С sin(o&)=0, или ak=nn. (4f)
Это условие определяет возможные значения k, а следовательно,
и энергии Е. Принимая во внимание связь между Е и k [см. (4d)],
301
