Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
*) При первом чтении можно пропустить.
29$
Допустим теперь, что волновая функция Ц?(х, t) удовлетворяет •условию «квадратичной интегрируемости». Тогда новую волновую функцию грп (х, t) можно определить из условия
ij)„ (х, = (х, t), (49с)
где N определено из выражения (49Ь). Такая волновая функция обладает следующим свойством:
СС хъ
S dx! 'Фя (х, t) |2 = 1, Р (хи хг) = 5^1 (л', t) |а. (49d)
-® АЧ
Для функции г|)п(лг, t) плотность вероятности равна квадрату ее абсолютного значения.
Волновая функция, удовлетворяющая первому условию в (49d), называется нормированной волновой функцией, или функцией, нормированной к единице. С такой функцией удобно работать, так как квадрат ее абсолютного значения непосредственно дает плотность вероятности.
50. Теперь мы должны выяснить, может Ли постоянная N, определяемая равенством (49Ь), зависеть от времени t? Мы предполагали, что ij;(x, i) является решением уравнения Шредингера
~ '2т 1-Н*> 0 + v (х) 4’ (*> 0 = ^ -§f 4 (*» t). (50а)
Новая волновая функция г|)„ (х, t) также будет решением (50а), если постоя'нная N не зависит от времени.
Докажем следующую теорему: если г|>(х, t) удовлетворяет уравнению (50а) и ij: (х, t) «достаточно быстро» стремится к нулю при стремлении х к +оо или —ос, то
сс
Ж J dx\xP(x’ 0Г' = 0- (50Ь)
— ОС
Требование «достаточной быстроты», в частности, означает, что функция ip (х, t) должна иметь интегрируемый квадрат абсолютного значения.
Для доказательства этой теоремы произведем дифференцирование под знаком интеграла:
Int., D'f-irr <*. /)Hv.0=4'-(*.0^+^^W>-
(50с)
Уравнение (50а) дает нам выражение для производной по времени <3г|з (х, t)idt. Чтобы получить аналогичное выражение для производной комплексно сопряженной волновой функции, произведем комплексное сопряжение уравнения (50а):
iti !):• (х, t) = (х, 0 —V {х) г|>* (х, t). (50d)
294
Мы считаем У (я) вещественной функцией. Действительно, потенциал в теории Шредингера соответствует потенциалу аналогичной классической задачи. Вещественность потенциала существенна для наших рассуждений, и это предположение характерно для теории Шредингера.
Исключая с помощью (50а) и (50d) производные по времени из (50с), получаем
д I , / Л ,, ifi- ( , * \ _ iti д ( , 4 дф dif* \
dt 01 — 2т Зл-2 ^ дх2 ) 2т дх дх V' дх )'
(5 0е}
Таким образом,
+ СО + X
~ j dx | (x, 0!2= j ^-^rii|)(.v, o
(50f>
Однако если производные волновой функции по х ограничены, то выражение в скобках в формуле (50f) обращается в нуль, так как волновая функция исчезает на бесконечности. Таким образом, равенство (50Ь) доказано, и из (49Ь) немедленно следует, что N есть постоянная, не зависящая от времени t. Поэтому функция грп (х, t) также является решением уравнения Шредингера (50а). Из данной волновой функции мы всегда можем образовать нормированную волновую функцию, в частности волновую функцию, нормированную к единице.
Эти важные выводы сохраняются и в трехмерном случае. Мы не доказали этого, но соответствующее доказательство совершенно аналогично одномерному случаю.
51. Читатель может усомниться в нашем утверждении, что каждая волновая функция, имеющая физический смысл, должна быть квадратично интегрируемой в смысле (49а).
Поводом для сомнения является плоская монохроматическая волна ехр (ixptb—itp2/2mA). Ясно, что эта функция не обладает таким свойством и, следовательно, не может быть нормирована к единице. Нам пришлось сделать вывод, что волна с точно заданным значением импульса р, зависимость которой от координаты х имеет вид exp (ixplh), не отвечает физически реализуемому состоянию движения частицы.
С другой стороны, ничто не мешает нам рассматривать волну, которая в очень большом интервале значений х зависит от х по закону exp (ixplh) и стремится к нулю при х, стремящемся к +оо или —оо. Поэтому возникшую трудность можно разрешить, согласившись, что под «волной с точно определенным импульсом» мы не будем подразумевать, волну, которая при любых х имеет вид exp (ixp/%). Мы предполагаем, что волна должна исчезнуть на бесконечности, но она имеет вид exp (ixp/%) в достаточно большом интервале значений х, включающем и интересующую нас область. Та-
29&
ким образом, под «монохроматической волной» мы понимаем «почти монохроматическую волну». При таком понимании можно продолжать говорить о волнах, которые зависят от координат по закону exp (i.xp к) или exp (iX'p/K), как обычно пишут почти во всех книгах по квантовой механике. Ненормированную волну можно считать предельным случаем нормированной волны и при желании называть волновые функции первого типа «несобственными» волновыми функциями (improper wave functions). Этот термин должен также умиротворить математиков. Их чувства часто страдают от того, что физики говорят о «плоских волнах» как о настоящих шредингеровских волновых функциях.
