Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 12А, в, т. е. волновая функция справа от х2 должна асимптоти-
чески приближаться к оси х. При неверном выборе энергии Е волновая функция будет удаляться от оси х, что означает физически неприемлемое решение. Требование асимптотического приближения волновой функции к оси х слева и справа от точек поворота в общем случае невыполнимо. Оно удовлетворяется лишь для некоторых дискретных значений Е, которые должны быть больше V0- Мы уже
отмечали, что при E<.Vо не существует физически приемлемых решений.
Для потенциала, показанного на рис. ПА, схема уровней состоит из дискретного ряда уровней (в нем
может не быть ни одного
уровня), расположенных между Уо и V_, и непрерывной последовательности уровней при энергиях, больших У_.
19. На рис. 19А пока-
зана простая одномерная задача, принадлежащая к задачам рассматриваемого выше типа. В этом случае возможно сравнительно простое аналитическое решение. На рис. 19А V+ = V_ и потенциал в интервале (—а, а) постоянен. Справа на рисунке показана схема уровней, которых всего четыре. Они расположены ниже области непрерывного спектра. В левой части рисунка показаны волновые функции четырех связанных состояний. Заметим, что первая волновая функция имеет один экстремум (и ни одного нуля), вторая — два экстремума (и один нуль), а четвертая волновая функция, соответствующая наиболее высокому дискретному уровню энергии, имеет четыре экстремума и три нуля. Для более глубокой потенциальной ямы мы имели бы большее число связанных состояний, и в предельном случае ямы с бесконечно высокими стенками (эта задача обсуждалась в п. 4) число связанных состояний бесконечно велико. Сравнив рис. 4А, б и 19А, читатель увидит, что для обоих случаев положение уровней четырех первых связанных состояний аналогично, хотя и не совпадает полностью.
Рекомендуем читателю найти четыре связанных состояния для задачи на рис. 19А.
Теперь мы понимаем, почему с точки зрения теории Шредингера
-а а
Рис. 19А. Частица в потенциальной яме глубиной В. Слева показан потенциал, справа — уровни энергии. Имеются четыре связанных состояния (четыре дискретных уровня энергии). Соответствующие волновые функции показаны слева. Они совмещены с графиком потенциала. Область непрерывного спектра примыкает к верху ямы и заштрихована
310
-в
щ-о
?. —
2
—в
ации, показанной на
квантовомеханическая система имеет связанные состояния и почему выше определенного предельного значения энергии возникает непрерывный спектр состояний. Его начало соответствует энергии, при которой система диссоциирует. В нашем простом случае такая диссоциация означает, что частица ведет себя как «волновой пакет», распространяющийся далеко от «центральной области».
20. Поговорим теперь о том, как понять рассмотренное в п. 38 гл. 3 явление, которое заключается в том, что уровни энергии расположены выше нижней границы непрерывного спектра (см. схему уровней на рис. 38А гл. 3).
Рассмотрим показанную на рис. ЗОА одномерную задачу. Она отличается от задачи р-пе. 19А тем, что за i V(x)
пределами ямы потенциал не постоянен, а уменьшается скачком до значения
—?>то ка некотором расстоя- ~а О
НИИ Ъ ОТ ЯМЫ. ПреДПОЛО- Рис. 20А. Модифик жим, что после скачка потенциал сохраняет постоянное значение —BM.
В соответствии с нашей теорией непрерывный спектр начинается приэиер-гии —В^, как показано на рис. 20А. При не слишком
малых b существуют три связанных состояния. Отвечающие им уровни энергии Еи Е2, Ея весьма близки к трем первым уровням энергии на рис. 19А, пока постоянная b велика, т. е. пока оба барьера, показанные на рис. 20А, достаточно широки. Ограничимся случаем широкого барьера (b достаточно велико). Если b бесконечно велико, задача на рис. 20А переходит в задачу на рис. 19А. Область непрерывного спектра начинается при нулевой энергии, и существует четвертое связанное состояние с энергией Ех. Для любого конечного значения b мы имеем лишь три связанных состояния и непрерывный спектр, начинающийся при энергии, равной —В„. Предположим, однако, что ширина ямы, в которой находится, например, электрон, имеет типичные атомные размеры, что ее глубина порядка 10 эВ, а величина b превосходит 1 км. В этих условиях трудно понять, чем отличаются ситуации, показанные на рис. 20А и 19А. Здравый смысл подсказывает, что в обоих случаях поведение частицы вблизи ямы должно быть одним и тем же, и мы ожидаем поэтому, что четвертый уровень из схемы уровней рис. 19А будет существовать и в задаче на рис. 20А. Тщательное математическое исследование задачи, которое мы не можем здесь выполнить, подтверждает сказанное. Мы приведем лишь общий ход доказательства.
Рис. 20А. Модификация рис. 19Д. Потенциал идентичен с потенциалом предыдущего рисунка лишь в интервале. { — Ь, 4-Ь), а за его пределами имеет постоянное значение—Вто<0. Область непрерывного спектра начинается при — Всс, и сушеетоуюг лишь три стационарных состояния. Однако если Ь очень велико (т. с. если барьер очень широк), то существует четвертое почти стационарное состояние. Соответствующий виртуальный уровень обозначен символом Е4. Он отвечает четвертому стационарному уровню на рис. 19А
