Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
V(x) = (К 12) х2, (27а)
где К — «жесткость пружины». Если т — масса частицы, то круговая частота колебаний со0, согласно классической теории, равна
со 0 = УК/т. (27 b }
Для применения описанного в п. 26 приближенного метода необходимо начать с определения координат точек поворота. Они расположены симметрично по отношению к началу координат, и мы обозначим их через хг=—х0 и хг=х0. В согласии с (26а), имеем
х0{Е) = УЩК, Е = (К 12) х%. (27 )
Теперь найдем определяемую формулой (26Ь) функцию g(E):
х2 +Х0
g (Е) = \ dx У 2т [Е — V (х)] = dxVKm{xl—х2). (27и)
— Хо
Переходя к новой переменной 0 с помощью подстановки x=x0sin О, получаем .
я/2
g (Е) = 2 У Km xl ^ dQ cos2 0 = пЕ Ут/К, (27е)
о
где л"о исключено с помощью равенства (27с). Подставляя полученное выражение для g(E) в (26с), получаем для энергии Еп (п+1)-го стационарного состояния гармонического осциллятора весьма простое выражение:
En = (n+\/2)fm0-, (27 f)
десь л =0, 1, 2, ...— любое целое неотрицательное число.
28. Точное решение уравнения Шредингера (4Ь) дает в случае гармонического осциллятора, т. е. для потенциала V (х), определяемого формулой (27а), такой же результат (27f).
В этой книге нас не интересуют точные решения уравнения Шредингера, и мы не будем искать точного решения задачи о гармоническом осцилляторе. Благодаря замечательной случайности наш приближенный метод дает совершенно точный результат.
На рис. 28А показана схема уровней (слева) и потенциальная функция (справа) гармонического осциллятора. Мы видим [это следует из формулы (27f)l, что интервал энергий между смежными уровнями остается постоянным. (Это свойство уровней называется эквидистантностью.) На рис. 28А за нулевой уровень энергии
316
выбрано дно потенциальной ямы. Разумеется, такой выбор произволен.
Если осциллирующая частица обладает зарядом, то следует
ожидать радиационных переходов между различными уровнями.
Таким образом, если принять во внимание процессы излучения, уровни энергии для п>0 перестают быть совершенно стабильными.
Можно показать, что для электрических д-игольных переходов правило отбора заключается в том, что квантовое число п может меняться на единицу. Частота испущенных квантов совпадает с классическим значением со0 для любых переходов такого рода. Такой же результат следует и из классической теории.
29. Теория гармонического осциллятора имеет в физике весьма большое значение, потому что уравнения движения многих, внешне непохожих физических систем формально эквивалентны уравнениям движения системы гармонических осцилляторов, очень слабо взаимодействующих друг с другом. В первом приближении, когда взаимодействием между осцилляторами пренебрегают, квантовая теория таких систем математически эквивалентна весьма простой теории для системы совершенно независимых гармонических осцилляторов. Последняя система допускает весьма простой анализ, так как каждый осциллятор ведет себя так, как если бы остальных осцилляторов не было. Очевидно, что, если мы можем описать поведение одного из них, мы можем описать и поведение любого их числа.
В качестве примеров таких систем укажем на электромагнитное поле, на упругое колеблющееся твердое тело и на различные квантовые поля. Отметим также, что все молекулы имеют колебательные степени свободы, свойства которых с хорошим приближением описываются теорией гармонического осциллятора. Выражаясь с большей общностью, можно сказать, что теория гармонического осциллятора применима к системам, которые удовлетворяют линейным или приближенно линейным уравнениям движения.
30. На рис. ЗОА показано, что колебания реальной молекулы, а именно молекулы водорода, имеют приближенно гармонический характер. В молекуле водорода оба протона могут колебаться друг относительно друга. Такие колебания можно объяснить с помощью некоторого эффективного потенциала взаимодействия, показанного на рис. ЗОА, где кривая дает зависимость потенциальной энергии системы от расстояния между обоими протонами молекулы водорода. Существование и форма такого эффективного потенциала хорошо объясняются теорией, и ниже мы рассмотрим это объяснение. Для изучения колебательных состояний молекулы Н2 или любой
/7=7/7 -3-?-7 -? -? -4 -'3 -2 -1 ~
О г
Рис. 28А. Потенциал и уровни энергии гармонического осциллятора. Измененная от дна потенциальной «ямы» энергия (п-|-1)-го уровня равна — (гс-И/а^Юо» где со0 — классическая частота. Метод В КБ дает тот же результат, что и строгая теория
317
другой двухатомной молекулы мы должны, таким образом, прежде всего определить эффективный потенциал, после чего найти уровни энергии колебательных состояний, решив одномерное уравнение Шредингера для такого потенциала.
