Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем со случая, когда энергия E>V+ (штриховая линия Е1 на рис. ПА). Особенность этого случая в том, что Е—V (х)>0 для любых х и решение во всей области, и в частности в +оо и —оо, имеет характер осцилляций. Оно остается осциллирующим при тоо и —оо и в том случае, если энергия Е меньше максимального значения потенциала V(х), но E>V+. В этом случае мы имеем дело с задачей о проникновении через потенциальный барьер. Итак, для любого E>V+ можно найти два линейно независимых решения, осциллирующих на бесконечности, и этим решениям соответствуют бегущие волны. Физическая интерпретация таких решений была рассмотрена в гл. 7. При заданной энергии Е решение не нормировано к единице, но, взяв суперпозицию (непрерывную) решений в виде бегущей волны, можно образовать нормированное решение. В п. 51 гл. 7 мы условились называть решение , отвечающее определенному Е и осциллирующее при +оо и —оо, «несобственной» волновой функцией, и для любого E>V+ мы имеем две линейно независимые «несобственные» волновые функции. Эти волновые функции или, вернее, образованные из них волновые пакеты, могут описывать, например, падающую на барьер слева частицу. Она частично отражается обратно и частично проходит вправо. Аналогично, частица может приходить справа.
16. Теперь рассмотрим случай V+>E>VПри этом для правой части рисунка Е—V(х:)С0, а для левой части Е—V{x)>Q. Такого рода задача была рассмотрена в п. 21—25 гл. 7. В этом случае для правой области физически приемлемо лишь одно из двух линейно независимых решений, а именно то, которое стремится к нулю при х, стремящемся к +оо (см. правый сегмент на рис. 12А, в). Продолженное влево, такое решение приобретает характер осцилляций в области, где Е—V(x)>0. (Разумеется, волновая функция и ее первая производная должны быть всюду непрерывны, иначе решение не будет общим решением уравнения Шредингера.) Итак, если энергия Е такова, что V+>E>Vмы имеем одну («несобственную») волновую функцию, которая описывает отраже-
308
E<V(x)
Область, в которой E>V(X) | E<V(?)
I/г
• / Энергия-./ мала
Зйергияточ-носоотввт-ствует связанному состоянию
ние приходящей слева частицы от потенциального «горба». Такая задача была рассмотрена в гл. 7.
17. Обратимся теперь к случаю У_>?’>У0- Он соответствует энергии Е3 на рис. ПА, когда справа и слева имеются области, для которых Е—У(л')<0, а для области в середине Е—У(х)>0. Две граничные точки, отделяющие эти области друг от друга, являются классическими точками поворота. Обозначим их xt и х2.
Слева от хх волновая функция асимптотически приближается к оси х, как показано на левом сегменте на рис. 12А, в. (У волновой функции может быть другой знак, но это не имеет значения.) Другой возможностью для волновой функции является монотонное возрастание при х, стремящемся к—со.
Но постоянно возрастающая волновая функция не будет физически приемлемым решением. Поведение волновой функции справа от х2 передается правым сегментом на рис. 12А, в. В области, лежащей между точками хг и х.2, волновая функция осциллирует, и здесь мы имеем два линейно независимых и физически приемлемых решения.
Задача заключается в «согласовании» различных типов решений с тем, чтобы получить физически приемлемую волновую функцию, всюду непрерывную вместе со своей первой производной *). Это не может быть сделано для произвольного значения энергии Е. Физически приемлемые решения (они должны быть квадратично интегрируемы ) существуют лишь для определенных дискретных значений энергии Е. Каждой такой энергии отвечает связанное стационарное состояние системы.
18. Сказанное поможет нам понять рис. 18А. Возьмем для энергии Е некоторое значение V_>E >У+. Чтобы удовлетворить физическим условиям «слева», мы должны выбрать в качестве решения волновую функцию, асимптотически приближающуюся к оси х при х, стремящемся к —оо. В точке поворота хг решение «слева» должно быть «согласовано» с осциллирующим решением
W!
Точка
поворота поворот",-
Рис. 18А. Схема, показывающая, как ведут^себя решения уравнения Шредингера, асимптотически стремящиеся к нулю при х-*-со. Три кривые отвечают решениям при трех различных значениях энергии. Решения при *-*¦ + <» расходятся, стремясь к +оо или —со, пока энергия не примет «точно определенное» значение. Неограниченные решения дифференциального уравнения физически неприемлемы: они не дают решения проблемы Шредингера. «Точно определенному» значению энергии отвечает кривая б; она асимптотически приближается к иулю при x-*-J-oo и представляет собой волновую функцию связанного состояния
*) «Согласование» выполняется, конечно, автоматически, если мы находим полное решение волнового уравнения.
309
для области (хъх2).Требование непрерывности самой волновой функции и ее первой производной приводит к единственности решения в этой области. Полученное решение опять должно быть согласовано с решением для области «справа» от х2, которое в свою очередь единственно. Это последнее решение, если значение энергии Е выбрано верно, должно вести себя так, как кривая на правом сегменте
