Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
Как и раньше (рис. 28А), мы выбираем за начало отсчета энергии «дно» потенциальной ямы. Предположим, что если расстояние между протонами г стремится к нулю, то потенциал стремится к
Рис. ЗОА. Эффективный потенциал взаимодействия между ядрами молекулы водорода (справа) и соответствующая схема уровней (слева). При небольших энергиях возбуждения молекула ведет себя подобно гармоническому осциллятору. Вблизи минимума кривая потенциальной энергии мало отличается от параболы и нижние уровни близки к уровням гармонического осциллятора (рис. 28А). По мере увеличения расстояния между ядрами потенциальная энергия стремится к постоянному значению, к которому примыкает область непрерывного спектра, соответствующая диссоциации. Потенциал U(r) не связан с «новым» тилом сил и имеет
электромагнитную природу
бесконечности. Известно, что при стремлении г к бесконечности потенциал стремится к постоянному значению 4,8 эВ (рис. ЗОА). При такой энергии молекула диссоциирует, и именно отсюда начинается область непрерывного спектра, как это показано на схеме уровней в левой части рисунка. Таким образом, потенциал двухатомной молекулы не совпадает с потенциалом гармонического осциллятора. Если, однако, не слишком удаляться от дна потенциальной ямы, то с достаточно хорошим приближением потенциальную кривую можно заменить параболой. Действительно, любая гладкая кривая с минимумом и с не равной нулю второй производной в этом минимуме имеет вблизи от него «приблизительно параболическую форму». Поэтому можно ожидать, что при не слишком высоком возбуждении поведение системы будет близко к поведению гармонического осциллятора. Сравнив рис. 28А и ЗОА, мы обнаружим различие между точно гармоническим и приближенно гармоническим осцилляторами. На рис. ЗОА уровни энергии больше не эквидистантны. Они приблизительно эквидистантны лишь при малых возбуждениях, когда амплитуда колебаний невелика.Кроме того, у реальной молекулы имеется лишь конечное число колебательных состояний.
Энергия диссоциации молекулы представляет собой энергию, которую надо передать молекуле в ее основном состоянии, чтобы она диссоциировала. Из рис. ЗОА следует, что энергия диссоциации
318
молекулы водорода близка к 4,5 эВ; это — разность энергии между нижней границей непрерывного спектра и энергией основного состояния.
Когда молекула Н2 находится в основном состоянии, среднее расстояние между ядрами (протонами) близко к 0,75 А. Волновая функция основного состояния концентрируется главным образом вблизи значений г, отвечающих минимуму потенциала.
31. Рассмотрим теперь смысл эффективного межъядерного потенциала. Его форма показана в правой части рис. ЗОА. К такому потенциалу приводит приближенная теория строения молекулы, известная под названием «приближение Борна — Оппенгеймера». Идея заключается в следующем. Так как ядра молекулы имеют массу, во много раз большую массы электронов, то скорость движения ядер в молекуле весьма мала по сравнению со скоростью электронов. В первом приближении можно считать, что ядра неподвижны и находятся на фиксированном расстоянии г0 друг от друга. Для конкретности рассмотрим молекулу Н2, но наши рассуждения применимы к любым молекулам. В таком приближении мы должны найти основное состояние двух электронов, находящихся в электростатическом поле обоих протонов. Предположим, что мы решили эту задачу для произвольного расстояния г. В таком случае нам известна функция U(г), представляющая собой зависимость энергии основного состояния системы (включая электростатическую энергию отталкивания между двумя протонами) от расстояния г. Для очень малых г энергия 0(г) очень велика и положительна, так как электростатическая энергия отталкивания обоих протонов стремится к 4-00, когда расстояние г между ними стремится к нулю. Для очень больших г энергия U(г) стремится к постоянному значению которое представляет собой энергию основного состояния двух атомов водорода, разнесенных на бесконечно большое расстояние.
Таким образом, существует область значений г, для которых U(r)<U„, как показано на рис. ЗОА. Функция U(г) имеет минимум в точке г0«0,75 А.
Наименьшее возможное значение энергии молекулы в предположении, что оба протона неподвижны, обозначим через U(r0). В качестве первого шага теория Борна — Оппенгеймера принимает, что это и есть энергия основного состояния молекулы.
32. Протоны, однако, движутся, и следующим шагом в приближении Борна — Оппенгеймера будет предположение, что это движение сводится к колебанию около «равновесного» положения г„. Эффективная потенциальная энергия этих (медленных) колебаний (которые должны, конечно, описываться квантовомеханически) дается функцией U(r), определенной на первом этапе рассматриваемого приближения.
Таким образом, функция U (г) является эффективной потенциальной энергией для второго шага приближения Борна — Оппенгеймера, в котором учитываются колебания обоих протонов друг относительно друга. В рассматриваемой теории фундаментальным
