Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
получаем
Е=‘
1 [tvtay-
2т
(4g)
где п — целое положительное число. Только такие значения энергии Е физически приемлемы в полученном решении. Случай п=О следует отбросить, так как при этом волновая функция всюду равна нулю, что лишено физического смысла.
5. Итак, для нашей задачи о частице в «ящике» уравнение Шредингера (ЗЬ) имеет стационарные решения, которые экспоненциально зависят от времени, т. е. решения типа ^(х, t) =ср(х)ехр (—НЕ In).Такие решения возможны лишь тогда, когда энергия принимает одно из дискретных значений Еи Ег, ..., Еп, ..., равное
v п2п2 (k/a)2'
2т
(5а)
здесь п — положительное целое число. Нормированная *) волновая функция (х, t) для л-го возможного значения энергии Еп имеет вид
it Е п
’Ы*. 0= )¦ lsin^exP
"(5Ь)
в интервале (0, а) и обращается в нуль за его пределами. [Легко проверить, что эта волновая функция нормирована к единице: интеграл от
\tyn(x, t)\-—(2la)siu2{nnxla)
Рис. 5Л. Прнаедо'.шые па рис. 4А три рач:-еi-лч чср1’с;кц совмещены вод.1н. To:ik;sm-i штриховыми линиями показаны уровни энергии. Ka.iCir.ii и-; этих линий одновременно с.'::/ лиг осью х для соответствую.ц:1 Л волновол функции
в пределах от нуля до а равен единице.
На схеме уровней, изображенной на рис. 4А, б, указаны первые шесть возможных значений энергии Еп. На рис. 4А, в приведены соответствующие волновые функции q>n(x), которые равны волновым функциям ij);i (х, t) при t=0. На рис. 5А оба рисунка совмещены.
6. Обратимся теперь к вопросу о различии между стационарными и нестационарными решениями уравнения Шредингера (ЗЬ).
Рассмотрим сначала п-е стационарное решение, определяемое волновой функцией (5Ь). Она нормирована к единице, поэтому квадрат ее модуля дает плотность вероятности Рп(х) обнаружить частицу вблизи точки х. Находим
Рп (х) = | г|)„ (х, t) j2 = (2/a)]siif (ям/a) (6а)
*) О нормировке Шредингеровских волновых функций см. п. 49 гл. 7.
302
внутри интервала (0, а) и Рп (х) — О вне его. Из выражения (6а) следует, что для стационарного решения плотность вероятности не зависит от времени.
Рассмотрим теперь нестационарное решение. Поскольку уравнение Шредингера (ЗЬ) является линейным дифференциальным уравнением, то линейная комбинация любой пары его решений будет новым решением. Это новое решение удовлетворяет тем же граничным: условиям гр (0, ^)=ij;(a, t)--0, если им удовлетворяют оба исходных решения. Таким образом, можно сделать вывод, что, в согласии с принципом суперпозиции, любая линейная комбинация стационарных решений (5Ь) дает новое физически приемлемое решение.
Чтобы понять, как ведет себя такая линейная комбинация решений, рассмотрим следующий частный случай:
где, разумеется, п'фп". Заметим, что написанное решение уравнения Шредингера также нормировано к единице (для всех значений t). Действительно, плотность вероятности"/5(х, t), соответствующая решению (6Ь), равна
Интегрируя это выражение от нуля до а, читатель легко убедится, что волновая функция (6Ь) действительно нормирована к единице.
Мы видим, что плотность вероятности Р (х, t) зависит от времени: последний член в выражении (6с) соответствует осцилляциям, частота которых равна
7. Очевидно, что плотность вероятности^ осциллирует в тех случаях, когда решение является суперпозицией стационарных решений (5Ь). При этом любым двум стационарным решениям г]э„, и входящим в суперпозицию (в ней может быть любое, даже бесконечно большое число стационарных решений), отвечает осциллирующий с частотой (?>П’П„ член в выражении для плотности вероятности. Осцилляции появляются от «перекрестных» членов и ty*n-tyn'> входящих в выражение для квадрата модуля волновой функции
где сп — постоянные.
Теперь возможно доказать следующую теорему: каждое физически приемлемое решение уравнения Шредингера для «частицы в ящике» может быть однозначно представлено рядом (7а), который является разложением по стационарным решениям (5Ь) задачи.
\р (х, t) = V1/2 [г|:,г {х, t) + (х, /)],
(6b)
Р{х, t) = \M?(x, t) |2 = -
Г • ,/n'nx \ . . „ l n"nx \ .
(—)+
(6d)
г|)(x, о=2сж (*•
(7a)
П
303
Мы не станем доказывать эту теорему, а примем ее, как весьма правдоподобную. Математически она эквивалентна теореме о разложении в ряд Фурье, и из нее следует, что стационарными решениями уравнения Шредингера будут лишь те решения, которым соответствует не зависящая от времени плотность вероятности.
