Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому предположим, что линейные комбинации (22.15) антисимметричны. Тогда из (22.9а) и линейной независимости функций фх/^ следует, что
^jaxS'\mD(P\'xA^s ) (Р)у\ = Bpax's'\'nf (22.16)
хХ
Если представление, присоединенное представлению А(5/)(Р), обозначить через
\is')(P) = eP\iS')(P) (22.17)
2
и умножить (22.16) на еР, то в силу того, что гР=\, получаем 2flx5'XmO(P)x'xA(5 ’ (P)t'\ = ax's'\'m• (22.18)
хХ
Суммируя по всем перестановкам Р, из соотношений ортогональности можно заключить, что левая часть обращается в нуль, если
D(P) и A(S)(P) не эквивалентны. Если D(P) не эквивалентно
какому-либо из представлений А(5)(Р), то все ovs'X'm обращаются в нуль, и из функций ФЛ1Р нельзя образовать никаких антисимметричных линейных комбинаций. Антисимметричная собственная функция мржет быть построена из функций от s и собственных
Тонкая структура спектральных линий
307
функций оператора Н0. принадлежащих некоторому неприводимому представлению операторов Рр, только в том случае, если
—(4- и)
это представление эквивалентно одному из представлений >'
д(2 А^2 Л Следовательно, собственные функции
и собственные значения оператора Н0. принадлежащие другим представлениям, исключаются принципом Паули.
Поэтому предположим, что D (Р) эквивалентно одному из представлений A(5V), скажем A(S)(P); фактически мы предполагаем, что оно совпадает с ним, поскольку преобразование подобия представления D (Р) сводится к определенному выбору линейно независимых собственных функций фх. Назовем 5 мультиплетным чис-
—(5)
лом собственных функций фх, принадлежащих представлению А . Если в (22.18) подставить
D (Р) = А(5) (Р) (22.19)
и затем просуммировать по всем перестановкам, то получим [временно обозначая размерность представления А(5)(Р) через gs]
^ axS'\m ^55' ^х'Х' ^х\ = П^ ax'S'Vm>
ХХ а (22.20) ax'S'Vm = ^55' К'\’ 2 gs = ^SS' К'\' &т>
X
где Ът не зависит от 5', х' и V. Таким образом, антисимметричные линейные комбинации (22.15) функций фх/^ имеют вид
2 hs'KJJJW = ЪЬтЪ №. (22.20а)
х5 т *
Хт
Имеется 25+1 линейно независимых антисимметричных функций
Em — 2tx/S, (22.206)
X
соответствующих 25 +1 значениям индекса т..
Если мы хотим образовать антисимметричные функции из собственных функций (pj, ф2> ф3.....принадлежащих некоторому соб-
ственному значению оператора Н0. мы должны умножить функции фх, принадлежащие х-й строке представления A(S), на функцию от s, принадлежащую х-й строке присоединенного представления A(S)*, и просуммировать эти произведения по всем х (для всех партнеров). Другие gs-(2n — 25—1) линейных комбинаций функций фх/^, которые ортогональны этим функциям, принадлежат
308
Глава 22
представлениям группы Ор, отличным от антисимметричного представления.
7. Если к Н0 добавляются спиновые члены Hi как возмущение, то Н перестает быть бесспиновым оператором, и его собственное значение Е расщепляется на нескольно собственных значений, которые в общем случае принадлежат неприводимым представлениям группы операторов симметрии Ор- Поскольку волновые функции всех физически реализуемых состояний антисимметричны, возможными уровнями энергии являются лишь уровни, принадлежащие антисимметричным представлениям. Если собственные функции оператора Но с собственным значением Е, являющиеся функциями
от jCj, ylt zx...хп, yn, zn, принадлежат представлению А(5)(Р),
то около значения энергии Е будут расположены 25+1 близких уровней. В первом приближении каждому из этих уровней принадлежит одна линейная комбинация функций Ет, задаваемых соотношением (22.206). Настоящую правильную линейную комбинацию [т. е. значения коэффициентов Ът в (22.20а)] нельзя определить без решения (25+1)-мерного секулярного уравнения для матрицы
(H1)m.m = (Em..H1Em)i (22.20b)
так как в рассматриваемом случае наличия внешних полей отсутствует симметрия, которая могла бы дать дополнительную информацию.
8. Рассмотрим теперь систему, в которой, помимо эквивалентности электронов, имеется полная вращательная симметрия. Функции
от jCj, у1( zx...yn, zn, являющиеся собственными функциями
оператора Н0> кроме мультиплетного числа 5, имеют определенное значение орбитального квантового числа L и могут быть выбраны так, чтобы они удовлетворяли соотношениям
РА,=2 ^(5)(Я),,Лv - 2 ©(i)(flv.v (22-2
