Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисления, выполненные в гл. 18 с помощью операторов Р, могут быть проведены также при использовании О вместо Р. Поскольку инвариантность гамильтониана относительно операций относится ко всем его членам, то голучаемые при этом результаты будут точными. Операторы Од. соответствующие вращениям,
Тонкая структура спектральных линий
299
коммутируют с оператором инверсии О/, и оба они коммутируют с операторами Оя. переставляющими все четыре координаты двух или более электронов:
? здесь Р есть перестановка ^ а "'”]]• Полная группа симметрии является прямым произведением группы О/?. описывающей вращения, на группы отражений и перестановок. Представления этого прямого произведения и, следовательно, собственные значения полного уравнения Шредингера, можно характеризовать тремя квантовыми числами или тремя символами. Они указывают представления трех групп, прямое произведение которых дает то представление полной группы симметрии, которому принадлежат собственные функции рассматриваемого собственного значения. Представление группы операторов вращения обсуждалось в предыдущей главе; оно дает квантовое число J полного момента количества движения ])- Представление группы отражений Ое= 1» 0/ = Р/ дает четность. Перейдем теперь к более подробному изучению операторов перестановок Оя. Это изучение приводит к принципу Паули и завершает обсуждение точных свойств симметрии. Оставшаяся часть главы будет посвящена связи этих величин с приближенными понятиями гл. 18, в частности с орби* тальным квантовым числом L и мультиплетным числом 5.
Полезно разложить перестановки (22.1) всех четырех координат на два множителя, соответствующие двум множителям P# и Q#, составляющим О/?- Поэтому мы напишем
О р — PpQp — QpPp,
(22.2)
где Qр действует только на спиновые координаты,
') В оставшейся части книги мы будем пользоваться символом J для обозначения этого квантового числа.
300
Глава 22
Поэтому, если в (22.26) заменить Ф на QpW, то получим
а последующая подстановка ok=sak в этом соотношении приводит, в силу (22.2а) и (22.1), непосредственно к соотношению (22.2).
2. Существенное упрощение дальнейшего изложения получается вследствие того, что собственные функции всех физических состояний принадлежат антисимметричному представлению по отношению к операторам Ор'.
где ер равно либо —}—1, либо —1 в зависимости от того, является ли Р четной или нечетной перестановкой. Функции, удовлетворяющие (22.3), называются антисимметричными функциями', требование, чтобы все волновые функции были антисимметричными, составляет содержание принципа Паули ]).
Принцип Паули не является следствием введенных ранее принципов квантовой механики; можно сказать, что в противоположность зависящему от времени уравнению Шредингера, играющему роль уравнения движения, этот принцип является начальным условием, выполненным для любой системы. Если уравнение (22.3) удовлетворяется в некоторый момент времени, оно, как мы сейчас покажем, удовлетворяется всегда. Из уравнения
поскольку Н является оператором, симметричным относительно операторов Ор и, таким образом, коммутирующим с ними, следует, что
^ dt (Ор (Op ер)^ dt ^ (Op ер)®- (22.3а)
Но отсюда следует, что (Ор— ?р)Ф всегда обращается в нуль, если это выражение равнялось нулю в некоторый момент времени. Из (22.3а) заключаем, что скалярное произведение
постоянно во времени; поэтому оно остается всегда равным нулю, если оно когда-либо было равно нулю. Однако из обращения
‘) W. Heisenberg, Zs. f. Phys., 38, 411 (1926); P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc., A112, 661 (1926).
ОрФ = ерФ> (Op —ея)Ф = 0,
(22.3)
((Op 6p)®> (Op 6р)Ф)
(22.E.1)
Тонкая структура спектральных линий
301
в нуль выражения (22.Е.1) следует равенство нулю выражения (Ор — 8р)Ф- Мы видим, что принцип Паули по крайней мере совместим с квантовомеханическим уравнением движения.
Важный вывод из того, что все волновые функции принадлежат антисимметричному представлению, относится к разделению системы на несколько частей. Рассмотрим, например, систему из двух атомов гелия, которые взаимодействовали в течение некоторого времени, а затем отделились один от другого. Неприводимое представление симметрической группы четвертого порядка, которому принадлежала волновая функция до разделения атомов, обозначим через D (Р). Тогда можно поставить вопрос: каким представлениям симметрической группы второго порядка могут принадлежать состояния атомов гелия после их разделения? Если D (Р) является антисимметричным представлением, состояния каждого из атомов гелия после их разделения наверняка также антисимметричны. Тот факт, что одна из частей системы принадлежит определенному представлению, однозначно определяется тем, что полная система принадлежит антисимметричному представлению. То же самое имеет место и в случае, если D (Р) является симметричным (тождественным) представлением, но этого уже нельзя сказать о каком-либо ином представлении.
