Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
7. Соотношение (21,22) наводит на мысль, что вместо исходной группы следует рассматривать „покрывающую группу", которая имеет столько элементов Ss^, ... для каждого элемента 5 первоначальной группы, сколько существует путей (t),
S2(f). ••• от Е к S, которые не могут быть деформированы один в другой *)• Правило умножения для этой покрывающей группы имеет вид
Ssi(t) Rnk(t) = SRstU), s-nk{t)‘ (21.22a)
Согласно (21.22), матрицы D(S)5W образуют регулярное однозначное представление покрывающей группы. Отсюда следует, что представление .непрерывной группы, определенное с точностью до множителя, можно преобразовать в регулярное представление покрывающей группы путем умножения на соответствующим образом подобранные числа. Если известны все представления покрывающей группы, то известны также и все представления (с точностью до множителя) исходной группы.
Фиг. 12. Любой элемент группы вращений может быть достигнут от тождественного элемента: либо (/) по
непрерывному пути без скачков, либо (//) по непрерывному пути, включающему скачок из некоторой точки в противоположную ей. Эти два типа путей не могут быть деформированы один в другой.
Пространство параметров (см. фиг. 1 на стр. 110) трехмерной группы чистых вращений двусвязно. Произвольной точки можно
достичь от Е либо непосредственно (/) (фиг. 12), либо путем
скачка к противолежащей точке (II), причем эти два пути нельзя
‘) Рассматриваемая здесь группа называется также группой Пуанкаре.
296
Глава 21
деформировать один в другой. (Скачок к противолежащей точке не рассматривается в качестве разрыва линии пространства параметров, так как противоположные точки соответствуют одному и тому же вращению.) С другой стороны, путь с двумя скачками к противолежащим точкам уже можно преобразовать в путь без скачков, если преобразование выбрать так, чтобы рассматриваемые два скачка вместе компенсировали один другой (фиг. 13).
Фиг. 13. Путь, включающий два скачка в противоположные точки, можно непрерывно деформировать в путь, не имеющий таких скачков, если совместить два скачка, как это показано на схеме.
Таким образом, покрывающая группа имеет вдвое больше элементов, чем группа вращений; следовательно, она изоморфна группе матриц (/?). Будучи двузначным представлением группы вращений, это представление является регулярным для покрывающей группы, притом точным, так как каждому вращению сопоставляются две матрицы ± !?)(1/s) (/?), отличные одна от другой и от всех других ф(1/2) (S).
Матрицы 2)'/s (R) образуют унитарную группу; она является, следовательно, покрывающей группой трехмерной группы вращений. Ее представления можно разбить на U(0), U(/2), .... и соответственно матрицы D (R)=crD (R) можно разложить на ± Ф(0), ±
± ?(1), .... Если считать, что матрицы D(/?) находятся в приведенном виде (для этого нужно лишь преобразование к новой
Квантовое число полного момента количества движения
297
системе линейно независимых функций), то для этих функций получаем
Оя?» = -L. 2 ©(Л (/?Vv Ч$>, (21.126)
причем j можно рассматривать как квантовое число полного момента количества движения собственных функций W(i}+1, ..., W(/*.
Хотя соотношение (21.126) не вполне эквивалентно равенству (21.12а), оно позволяет. вывести большинство правил для полного квантового числа j.
Глава 22
ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
1. В гл. 18 мы вывели правила отбора для орбитального квантового числа, четности и мультиплетного числа в том виде, как они возникают в теории, не учитывающей спин. Если учесть силы, возникающие вследствие наличия спинового магнитного момента электрона, то эти правила уже не будут точными, так как они опираются на предположение о том, что P/jW является собственной функцией оператора энергии, принадлежащей тому же собственному значению, что и W. (Состояние P#W предполагалось тождественным с точностью до вращения состоянию W.)
Теперь мы знаем, что при учете спина не оператор Рд, а Оя осуществляет вращение состояния; Рд поворачивает только пространственные координаты системы. В соответствии с этим P#'F была бы собственной функцией оператора Н только в том случае, если бы оператор Н не зависел от спина. В действительности, в Н появляются также члены, связанные со спином, так что функция P/jW не является собственной функцией оператора Н для собственного значения, отвечающего функции W, и поэтому не может быть записана в виде линейной комбинации собственных функций, принадлежащих этому собственному значению. Следовательно, при учете спина собственные функции не принадлежат какому-либо представлению группы вращений, связанному с операторами Р^, и понятие орбитального квантового числа уже не имеет CTporoi о смысла. Только тогда, когда члены, связанные со спином, малы, и можно получить в хорошем приближении решения действительного уравнения Шредингера даже при пренебрежении ими, что зачастую законно, понятие орбитального квантового числа (и мультиплетного числа) имеет смысл, и только тогда верны правила отбора, выведенные в гл. 18. Ниже мы изложим все это точнее.