Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Антисимметричная функция хи ylt zu s,.....хп, у„, zn, sn, которая пре-
образуется согласно представлению А^ при перестановках Рр одних только декартовых координат и имеет мультиплетное число S, должна преобразовываться [см. (22.21) и (22.11а] согласно представлению А^* при перестановках Ор спиновых координат [см. (22.24а)] и согласно
представлению
<?>(5)
при вращениях спииовых координат. Поэтому мультиплетное число не определяет только симметрию по отношению к перестановкам переменных (декартовых или спиновых координат). В силу специальной структуры функций от s, оно определяет также и симметрию по отношению к вращениям спиновых координат точно так же, как орбитальное квантовое число определяет симметрию по отношению к вращениям декартовых координат. Одна существенная разница между орбитальным квантовым числом и мультип-летным числом возникает вследствие того, что наиболее важные величины типа Н0 являются не зависящими от спина величинами, инвариантными относительно всех Q, если даже изотропность пространства нарушена внешним полем.
Тот факт, что функции которые принадлежат некоторому неприводимому представлению А^ симметрической группы, принадлежат также неприводимому представлению
<?>(5)
группы вращений, и наоборот, представляет собой свойство функций переменных, принимающих только два значения. Если бы s могли принимать несколько значений, то функция, которая принадлежит определенному представлению симметрической группы, могла бы тем не менее принадлежать различным представлениям группы вращений; и наоборот, функция, принадлежащая заданному представлению группы вращений, могла бы также принадлежать различным представлениям симметрической группы. Трансформационные свойства относительно вращений и перестановок связаны описанным выше образом только с переменными, принимающими два значения.
9. Если теперь образовать антисимметричные комбинации функ-ций ф /J^}, согласно (22.206), то получим (25+ 1)(2Z, —[— 1) таких комбинаций, так как выражение (22.206) может быть построено для любого [а:
Ет? = 2ф“/22 (ц = — L.................L, т = —5........... 5). (22.25)
Если подвергнуть вращению состояния Е^,
о*з“ = 2 р*ф“ • о
X
= 2 2
х Iх'т'
p/m'
то они преобразуются по прямому произведению ?>(i) ^ Ф(5),
312
Глава 22
Поэтому квантовое число полного момента J получающихся при этом антисимметричных собственных значений определяется путем разложения произведения ?>(i) X Это разложение уже было выполнено в гл. 17. Неприводимые компоненты имеют верхние индексы
J=\L — 5|, \L — 5|+1...........L+5—1, L+5, (22.26)
а соответствующие линейные комбинации функций имеют,
согласно (17.18а), вид
< = 2 (22.27)
Коэффициенты были определены в гл. 17 формулами (17.27)
и (17.276).
При введении спина уровень с орбитальным квантовым числом L и мультиплетным числом 5 расщепляется на 2Z- —j— 1 или 25+1 (на меньшее из этих чисел) „компонент тонкой структуры0 с квантовыми числами полного момента (22.26). Соответствующие собственные функции первого приближения даются равенством (22.27).
Хотя при наличии полной пространственной симметрии число собственных функций, которые принадлежат одному собственному значению, значительно больше, чем при отсутствии полной симметрии, правильные линейные комбинации для теории возмущений могут быть гораздо проще определены при наличии полной симметрии, чем в отсутствие ее. При наличии полной пространственной симметрии коэффициентами правильных линейных комбинаций являются просто коэффициенты модели векторного сложения, приведенные в явном виде в гл. 17. Таким образом, полная пространственная симметрия более чем окупает те усложнения, к которым она приводит.
Значения (22.26) квантового числа J показывают, что для уровней, возникающих при введении спина из уровня с орбитальным квантовым числом L и мультиплетным числом 5, квантовые числа J полного момента даются моделью векторного сложения. Согласно этой модели, для получения результирующего вектора J нужно скомбинировать векторы L и 5 так, как показано на фиг. 9*). Вектор L истолковывается как орбитальный момент количества движения, а 5 — как момент количества движения, связанный со спином электрона; J является полным моментом количества движения.
•) Для этой цели на фиг. 9 (стр. 224) следует заменить / на L, I на S и L на J.
Тонкая структура спектральных линий
313
10. Определим, наконец, четность функций (22.27). Если четность функции фХ1Х есть w (она одинакова для всех фХ1Х), то
Это выполняется также для функций (22.27), поскольку эти функции, рассматриваемые как функции декартовых координат, являются линейными комбинациями функций фХ[1 и 0/=Р/. Таким образом, при введении спиновых координат четность не меняется и совпадает для всех компонент тонкой структуры уровня с четностью соответствующего уровня основной структуры до введения спина.
