Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Эта формула является весьма общей2). Она позволяет получить численное значение отношения Т^)-^ n'J'v-' „матричных
элементов11, т. е. скалярных произведений (21.18), у которых первые множители суть различные собственные функции одного
‘) Величины TNj.N,j, называются иногда приведенными матричными елементами или „матричными элементами с двойной чертой" и записываются в виде (/V_/' 1| Т\\ N'j').
2) В такой общей форме формулу впервые получил Эккарт
I С. Е с к а г t, Rev. Mod. Phys., 2, 305 (1930)].
Квантовое число полного момента количества движения
291
и того же собственного значения, операторы — различные компоненты одного и того же неприводимого тензора, а вторые множители '1г?'/ —собственные функции также одного и того же собственного значения (которое может отличаться от собственного значения для функций ЧГ^У).
Вернемся к случаю векторных операторов, полагая в (21.19) а)=1. Пользуясь таблицей коэффициентов векторного сложения на стр. 231, мы получаем формулы, аналогичные (21.14), для векторных операторов:
V‘nJkN'J-\v.--1 = W + P Vj Р------------ 1 У
Vn)kN'J-I|i —--------W + р Vy — (А V N]-,N'i-b
Vn)v.-,N’J-\v. + 1~ Vj — (A — 1 У j----V-VNJiN'J-U
vh/h N' J V—1 = V j — ^ +- 1 W +¦ (A VnJ; N')> y%)v;N'Jv =\>‘V2VNj;N'j,
|L + 1 = — V J J — pVNJ'.N'J-
^ЛГ/Ii; N'j +1 li—1 =Уj — (А “Ь 1 У J — (A -4~ 2 V Nj; N'J + lt
V/Vjf|j.;Ar7 + l|j. =У j — [A —1 1 V j (A -)- 1 У 2 Удг/;ЛГ7 + 1>
V$iv-\N4+\v.+\ = У -J— (A —1— 1 1/^У И— (А —2 VNj-N'] + Ъ
Все не перечисленные здесь матричные элементы векторных операторов обращаются в нуль; элементы с J=j' = 0 также равны нулю. Разумеется, из общих соображений нельзя определить VnJ;N'J'- В то время как матричные элементы скалярного оператора равны нулю, если квантовые числа полного момента количества движения или магнитные квантовые числа различаются [j и /, и (или) (J. и (а'], эти квантовые числа могут отличаться на 1 в случае векторных операторов.
При выводе формул (21.19) не делалось никаких предположений о конкретном виде операторов О^; поэтому формулы (21.19) должны оставаться справедливыми и в теории, не учитывающей спина, если заменить Од на Рд и квантовое число полного момента количества движения j на орбитальное квантовое число I. Действительно, мы уже не раз приходили к выводу об обращении в нуль матричных элементов векторных операторов. Например, умножение на
•*i+*2 + ••• + *л> У1+У2 + ... + Уп> si~h22~h ••• ~h2n представляет три компоненты векторного оператора, и мы нашли, что вероятность радиационного перехода из состояния в состояние которая определяется матричными элементами
ОЫ (*1 +*2+ ••• +хп)^е) и т- д-
(21.19а)
(21.196)
(21.19в)
292
Глава 21
обращается в нуль, если разность орбитальных квантовых чисел состояний ф/г и не равна 0 или ± 1. Далее мы видели, что магнитное квантовое число не меняется, если свет поляризован по оси Z (р = 0), и меняется на ± 1, если свет поляризован в направлении оси X или оси Y.
Дополнительный член в уравнении Шредингера, обязанный наличию магнитного поля в направлении оси Z,
является Z-компонентой векторного оператора. В этом случае мы уже фактически вычислили матричные элементы УдМц; Мц1 Средняя из формул (21.196) показывает, что они должны быть пропорциональны магнитному квантовому числу (х. Мы нашли также, что множитель пропорциональности не зависит от N и I и равен eti&eJ2mc.
Формула (21.19) является в определенном смысле аналогом формулы (19.6), в которой в явном виде выражена зависимость собственных функций от ориентации я-лучевика конфигурации. Последние сочетают в одном равенстве, по крайней мере в случае бесспиновой теории, всю информацию о волновой функции, которую дает вращательная симметрия системы. Как в элементарной теории, так и в теории с учетом спина формула (21.19) включает всю информацию о матричных элементах, которую можно получить из вращательной симметрии, причем без использования какого-либо приближения.
6. Интересно отметить г), что существование квантового числа полного момента количества движения, а также равенства (21.19) следуют уже из весьма общего соотношения (21.9), за исключением того, что (21.9) не позволяет решить; является,ли число j целым или полуцелым. Нельзя ожидать решения этого вопроса на основе
(21.9), так как число электронов не входит в это соотношение.
Если использовать соотношение (21.9) для выяснения поведения (21.13) матриц D при умножении, то вместо (21.13) получается только тот результат, что матрицы D(/?), определенные в (21.12),
образуют с точностью до множителя представление группы вращений. Однако тождественный элемент по-прежнему представлен единичной матрицей. Сейчас мы покажем, что, умножая каждую матрицу D(/?), удовлетворяющую соотношению (21.20а), на соответствующим образом выбранное число cR, можно получить систему