Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Г д д
. д д д й ] ¦¦¦+х"дТп-у'-57ГУ2<Ъ- ••• ~Упд^\
D (SR) ~cS'RD (S) D (R)],
(21.20а)
¦) Оставшаяся часть настоящей главы не существенна для понимания последующих глав.
Квантовое число полного момента количества движения
293
матриц D (/?) = CqD (R), которые образуют представление унитарной группы, т. е. для которых
D (5) D (/?) = ± D (SR). (21.20)
Поэтому, согласно гл. 15, эта система матриц с помощью преобразования подобия может быть расщеплена на представления $(0), SD('W, $(1). Это означает, что такой набор матриц, к которому сразу приводит соотношение (21.9), дает в сущности однозначные и двузначные представления, рассмотренные в гл. 15.
В частности, набор двумерных матриц, удовлетворяющих соотношению (20.17), содержит либо только постоянные матрицы (если он содержит дважды), либо эквивалентен представлению как мы заключили в предыдущей главе.
Сначала образуем представление D (R) = cRD (R) из D(/?) и выберем cR равными (—1/Х)-й степени определителя матриц D(/?). Здесь X—размерность матриц D (/?). Это приводит к тому, что
I D(/?) |=1:
|D(/?)H|^1.D(/?)| = |^.1|.|D(/?)| = 4|D(/?)|=1. (21.21)
Значения постоянных cR и элементы матриц D(/?) не определены еще однозначно, а лишь с точностью до Х-значного корня степени X из единицы, ш. Таким образом, каждому элементу группы R соответствуют X матриц, а именно все матрицы, кратные D(/?) и имеющие определитель 1.
Если D(S) умножить на D(/?), то получается D(S/?). В силу (21.20а), это произведение кратно любой матрице D (SR)\ его определитель является произведением определителей матриц D(5) и D(/?), равным 1.
Из представления D (/?), определенного с точностью до множителя, мы получили многозначное, точнее, \-значное представление; произведение всякой матрицы D (5) на всякую D (R) дает некоторую матрицу D(SR).
Можно попытаться уменьшить эту многозначность представления, выбирая и сохраняя одну из X матриц D(/?) и опуская остальные. Естественно, что это можно 'сделать не произвольным образом, а лишь таким путем, чтобы любая из оставленных матриц D (S), будучи умноженной на любую другую из оставленных матриц D (/?), давала бы снова одну из оставленных матриц D (SR).
294
Глава 21
Следуя методу Вейля *). мы положим в основу этого отбора свойства непрерывности представлений.
Если 5 и S' — два соседних элемента группы (S— S'), то для первоначальной формы D (/?) мы должны бы иметь
D(5)~D(S') и jD(5)j — | D(501.
Из последнего соотношения следует, что X значений чисел cs являются попарно соседними со значениями cs,. В то же время X матриц D(5) являются попарно соседними с X матрицами 0(5'), притом так, что какая-либо матрица D(5) является соседом одной и только одной матрицы 0(5'), тогда как остальные X—1 матриц существенно отличны, поскольку они получаются из первых путем умножения на число, существенно отличающееся от единицы (корень степени X из 1).
Если соединить тождественный элемент ?=5(0) с элементом 5 = 5(1) непрерывной линией 5(/) в пространстве параметров, то можно потребовать, чтобы матрицы D(5(/)) пробегали непрерывную последовательность. Тогда, отправляясь от D(S(0)) = = D (?) = 1 и следуя вдоль заданного пути 5 (t), можно получить только одну из X матриц D(5). Мы обозначим ее через D(5)5(/). Если путь S(t) деформируется непрерывным образом, а конечные точки его остаются фиксированными, то D(S)5(/) никак не меняется, ибо эта матрица может измениться только непрерывно при непрерывной деформации пути, тогда как переход к другой матрице D (5) обязательно повлек бы за собой скачок.
Произведение D (5)5 • D (R)% (/) является одной из матриц
D (SR), которая также получается непрерывным образом из D (?)’= 1. Соответствующий путь проходит сначала от Е вдоль 5(/) к 5; при этом D(?) = l переходит непрерывно в D(5)S(/); затем путь идет к SR по точкам 5 • R(t), причем D(5)S(/) = D (5)s(/) • 1 переходит непрерывно в D(5)s(/)D(/?)J?(/), проходя через матрицы
D(5)S(„.D(fl(0):
‘ D </) — D (SR)s (21.22)
Если все пути от ? к 5 могут быть деформированы непрерывным образом один в другой, то пространство параметров односвязно
>) Н. We у!, Math. Zs„ 23, 271; 24, 328, 377, 789 (1925); V. S с h г е 1 е г, Abhandl. Math. Seminar Hamburg, 4, 14 (1926); 5, 233 (1927).
Квантовое число полного момента количества движения
295
и существует одна-единственная матрица D (S) = D (S)5(/), которую можно получить непрерывным образом из D (Е) = 1 = D (Е). Следовательно, матрицы D (5) образуют однозначное представление группы.
Если пространство параметров многосвязно, то существуют
два или более пути (t), S2 (t)........... которые не могут быть
деформированы один в другой непрерывно; соответствующие матрицы D(5)5jW........D(S)5 (,}, ... могут отличаться друг от друга.
Представление может быть тогда столь же многозначно, сколько имеется путей от Е к 5, которые не могут быть деформированы один в другой.
