Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
11. Оценим „мультиплетное расщепление0, т. е. разность энергий между компонентами тонкой структуры. С классической точки зрения расщепление связано с энергией взаимодействия спиновых магнитных моментов с током, возникающим вследствие кругового движения электронов вокруг ядра, а также друг с другом. Напряженность поля, создаваемого круговым током, будет —ev/r2c, где е и v — соответственно заряд и скорость электрона, а г — его расстояние от начала координат. В качестве г можно взять радиус первой боровской орбиты h2/me2, который, согласно квантовой механике, равен среднему удалению внутренних электронов от ядра, a v можно оценить из соотношения mvr~h. Тогда для напряженности магнитного поля получим
а для энергии магнитного диполя eh/2mc в этом поле — значение те8/2Ъ4с2. (Точный расчет на основе релятивистской квантовой теории Дирака приводит к значению me8/32fi4c2 для разности энергий двух уровней с N = 2, 1=1, j=xl2 и У = 3/г в атоме водорода.) Таким образом, расщепление тонкой структуры будет порядка
от основной структуры или от расстояния между уровнями атома водорода с различными главными квантовыми числами (— Постоянная а есть постоянная тонкой структуры Зоммер-фельда.
Грубую оценку порядка величины различных физических эффектов можно получить, разлагая энергию по степеням постоянной тонкой структуры. Практически каждая степень связана с учетом в вычислениях новых физических явлений. Нулевую степень содержит лишь энергия покоя электрона тс2. Первая степень имеет нулевой коэффициент. Вторая степень приводит к энергии, даваемой обычной теорией Шредингера; она пропорциональна
Р/Фх^^+хц-
314
Глава 2i
tnc2a2 = mei/h2 и представляет собой единственный член, в который не входит скорость света. Коэффициент при третьей степени а спять равен нулю. Мы только что видели, что члены четвертой степени дают энергию магнитного момента электрона, обладающего спином, в первом приближении теории возмущений. Пятая степень а приводит к ширине линий, связанной с дипольным излучением'). Член шестой степени дает второе приближение для спиновых эффектов, а член седьмой степени — уширение линий, связанное с квадрупольным излучением. Член восьмой степени дает третье приближение для спинового взаимодействия, а член девятой степени — уширение уровней за счет переходов, происходящих между уровнями с разной мультиплетностью (интеркомбинационный запрет) и т. д.
Разумеется, член разложения, содержащий высшую степень постоянной тонкой структуры, может быть больше, чем член с меньшей степенью, если его коэффициент достаточно велик. Однако, как правило, член с более высокой степенью а является наименьшим. Тем не менее коэффициенты некоторых членов (например, в формуле для расщепления тонкой структуры) обычно растут с увеличением порядкового номера атома, тогда как для других членов (например, радиационная ширина уровня) это не имеет места или не имеет места в общем случае. Так, второе приближение для расщепления тонкой структуры, за исключением нескольких первых элементов, существенно больше, чем радиационное уширение. Линии, которые исключаются интеркомбинационными запретами, почти всегда сильнее, чем квадрупольные линии, так что разложение по степеням а является иногда лишь способом группировки эффектов. Если член, раньше появляющийся в разложении по степеням а, больше, чем член, появляющийся позднее, то говорят, что связь является нормальной.
12. Если бы ссб-твенные функции оператора Н давались точно выражениями (22.27), они принадлежали бы неприводимым представлениям A(S)(P) и ?>(i)(/?) групп операторов Ря и Р^ соответственно, и правила отбора для мультиплетного числа и орбитального квантового числа выполнялись бы точно. В действительности
‘) Сумма ширин двух уровней дает естественную ширину линии, возникающей при переходах между ними. Ширина линии равна произведению h на сумму вероятностей переходов для всех возможных переходов с данного уровня. Если в (18.1а) подставить тс2а2~ Й» вместо Д<о, а радиус первой боровской орбиты подставить вместо матричного
элемента от х, то вероятность перехода будет
4 g2m3c6a6 Й4 1 АтсгЪаь тс2 Б
3 йе3А3 т2е4 h Зе3 Й а '
Она пропорциомальна пятой степени постоянной тонкой структуры.
Тонкая структура спектральных линий
315
(22.27) является лишь первым приближением для собственных функций. Если второе приближение
•r-ir+s да
.28)
V -ЛГ — ^N' !
N' фЫ J'm' '
по существу совпадает с первым, то можно предположить, что первое приближение является почти точным решением'). В этом случае переходы, исключаемые правилами отбора для S н L, не могут происходить с заметной интенсивностью.
В выражении (22.28) достаточно просуммировать по N'; так как оператор Hi симметричен относительно о*, «у. н,?го наверняка исчезает при J' + J или т'фт. Кроме того, (?„ J , Н1ЧгтУ) оказывается того же порядка величины, что и произведение № н I'PmO’ Дающее первое приближение энергии возмущения, связанной со спином (т. е. мультиплетное расщепление). С другой стороны, Ец—Ем' является расстоянием от ближайшего уровня основной структуры, соответствующего собственному значению с квантовым числом J полного момента количества движения. Если первая величина значительно меньше, чем вторая, то приближение (22.27) является хорошим; в противном случае оно недостаточно. Пригодность приближения, таким образом, существенно зависит от наличия случайной близости уровней с тем же квантовым числом J, но с разными 5 и L. (Если 5 и L функции Чгт'/ равны 5 и L функции то соответствующий член в (22.28) не меняет трансформационных свойств функций по отношению к Р.)
