Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если накладывается внешнее поле, то операциями симметрии2) остаются только те 3, которые соответствуют вращениям, собственным или несобственным, принадлежащим группе симметрии системы во внешнем поле. Соответствующие им матрицы D (3),
= <2а4> образуют (однозначное) представление группы соответствующих 3, а различные уровни системы в поле принадлежат различным представлениям этой группы. Группа симметрии системы не изоморфна этой группе, а (двукратно) гомоморфна, так как два 3 соответствуют каждому из ее элементов.
В случае однородного электрического поля, параллельного оси Z, к группе симметрии принадлежат вращения вокруг Z и отражения
‘) Таким образом, величины j являются элементами абстрактной группы, но не матриц, а пар Jи, где J есть либо Е, либо /, а и есть элемент унитарной группы. Закон умножения (см. гл. 16) имеет вид /и • У,и, = /7,11111.
2) Это значит, что только они по-прежнему преобразуют собственные функции заданного собственного значения в собственные функции того же собственного значения.
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 321
в плоскостях, проходящих через Z. Вращениям вокруг оси Z на угол а соответствуют матрицы
(см. (15.16)]. Отражение в плоскости ZX является произведением инверсии и вращения вокруг оси Y на угол тс. Поэтому соответствующие з имеют вид
Произведения (23.5) и (23.5а) соответствуют отражениям в других плоскостях. В представлении прямого произведения группы отражений и унитарной группы, принадлежащем уровню с четностью w и полным квантовым числом j, матрицы, соответствующие элементам группы (23.5), имеют вид
Аналогичным образом матрицы, соответствующие элементам группы (23.5а), равны
[при этом в (15.21а) следует подставить а = 0, b = — 1 для и а = 0, b = -\-1 для з']. Матрицы (23.6) и (23.6а) и их произведения образуют представление той подгруппы прямого произведения группы отражений и унитарной группы, элементы которой соответствуют элементам симметрии системы, остающимся и при наличии электрического поля. Это представление может быть приведено путем перемены порядка строк и столбцов так, чтобы они
(— тс < а < тс)
(23.5)
(23.5а)
О О
О О
w О
О — w
D(3y) =
D&) (23.6)
О — w
О О О О
О
822
Глава 23
находились в порядке — j, j, —У + 1, /—1, .... —1/2, 7г вместо —у, —У+1. •••. У—1, У- Тогда оно распадается на последовательность двухрядных неприводимых представлений
, . (е~1та 0 \ /— е~!т* 0 \
Z()(3.) = V 0 г &)=( 0 -е‘™) (23J)
и
II т (0 — w\ „ / 0 w
—1\1~т I 7(т) f — ( W~m
г->(3у)=(-1Г^та о у z^(3;) = (-i0
(23.7а)
где m принимает значения
т = У, У—1. У —2..........у, у. (23.8)
так что уррвень с квантовым числом полного момента j расщепляется на У + 7г штарковских компонент с электрическими квантовыми числами (23.8).
В этом случае оказывается, что представления Z(m) для w = -\-\ и w = — 1 эквивалентны, так как они могут быть преобразованы одно в другое с помощью матрицы
-1 О'
О 1
Таким образом, уровни с одинаковыми электрическими квантовыми числами, возникающие из четных и нечетных уровней, имеют одинаковые трансформационные свойства, и правила отбора будут аля них одинаковыми. Этого следовало ожидать, так как правило Лапорта неприменимо в электрическом поле также и к четному числу электронов, а единственным различием между уровнями, возникающими от четных или нечетных уровней, является появление уровней 0 и 0' соответственно. Для нечетного числа электронов даже эта черта, связанная с четностью, исчезает, поскольку уровни 0 и 0' не могут возникать.
4. Если оператор возмущения для электрического поля разложить в ряд типа (23.2), то из полярной природы вектора электрического поля следует, что коэффициенты V.*, Vy. Vг должны быть компонентами полярного вектора. Поэтому матричные элементы
V,4$0.
которые могли бы описывать эффект, пропорциональный первой степени напряженности поля, обращаются в нуль, так как ЧГ(У и имеют одинаковую четность
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина 323
Расщепление, возникающее во втором приближении, пропорционально И2; можно показать, что в этом приближении смещение и расщепление пропорциональны [а2.
5. Большинство из выведенных до сих пор правил в той мере, в какой они относятся к изотропному случаю, являются частными случаями соотношений (21.19):
Последнее равенство позволяет определить отношение матричных элементов
Величины в (23.9) являются числами, которые нельзя
определить общими методами, так как они зависят от набора операторов Т и от частного вида используемого гамильтониана.
