Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
H=-UilJ^ = VBJs0. (11.1.22)
[См. соотношения (11.1.4). Напомним, что в локально-инерциаль-яой системе координат U0 = —1.] Тогда выражение (11.1.21) § 1. Дифференциальные уравнения для звездных структур 325
принимает вид
R
M = j 4яг2 ]/Х(г) га (г) dr = о
= j n(r)dr. (11.1.23)
о
Собственная плотность числа нуклонов га (г) является функцией собственной плотности р (г), химического состава и энтропии s на один нуклон, поэтому, раз мы задали р (0), величины п (г) и N фиксированы для звезды с заданными постоянными s и химическим составом.
Внутренняя энергия звезды задается в виде
E = M-JnllN- (11.1.24)
Определим следующим образом плотность собственной внутренней энергии вещества:
е (г) = р (г) - тъп (г) (11.1.25)
и запишем (11.1.24) в виде
E = T+ V, (11.1.26)
где T и F — соответственно тепловая и гравитационная энергии звезды:
T^j 4яф-і^]-І/2 e(r)dr. (11.1.27) о
R
V ^ j 4 яг2 { 1 - [1 р (г) Д, (11.1.28)
о
Разлагая квадратные корни, получаем R
T= j 4яг2 { 1 + GnJir(r) + ...je (г) dr. (11.1.29)
о
F= - j 4яг2 { + ?^+ . . . } р (г) dr. (11.1.30)
Первые члены в Г и F нам знакомы—это есть ньютоновские величины тепловой и гравитационной энергий звезды; заметим. 326
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
в частности, что первый член в V можно переписать так: R R
-G j 4 JtroM (г) р (г) dr=--Lj -Ld (з#2 (г)) =
о о
R
GM2 G Г от (г) , _ ф (R) M (R)
~ 2R 2 J ri аг ~ 2
О
я я
--И 7/ W d^ (r)=4~ j t W W. (11.1.31)
о о
где ф —ньютоновский потенциал, задаваемый внутри звезды следующим образом:
R
, , ч GAT „ f c/A (r') j ,
<Ж =--д--G j -JrIdr'.
г
Высшие члены, входящие в выражения для TnV, мы обсудим в § 5 гл. 11.
Повторим основной вывод: приняв, что звезда имеет вполне определенные, постоянные по всему объему энтропию на нуклон и химический состав, можно определить все свойства звезды, включая р (г), р (г), п (г), е (г), М, N и Е, как функции центральной плотности р (0). Все это не относится к обычным звездам типа Солнца, в которых распределение энтропии не постоянно в объеме, а должно быть определено из уравнения радиационного равновесия. Однако материал, рассмотренный в данном параграфе, создает достаточную основу для изучения экзотических структур, о которых шла речь в начале этой главы.
§ 2. Устойчивость
Получив решение фундаментальных уравнений (11.1.13) и (11.1.14), мы еще не завершили работу. Такое решение описывает равновесное состояние звезды, однако равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В большинстве задач астрофизиков интересуют только устойчивые решения.
Для того чтобы сказать, будет ли некоторая частная конфигурация неустойчивой, необходимо в общем случае вычислить частоты Con всех нормальных мод конфигурации и проверить, будет ли хотя бы какая-нибудь из частот соп иметь положительную мнимую часть. В этом случае фактор exp (—icon<), определяющий временную зависимость моды, будет расти экспоненциально и система станет неустойчивой. Однако часто, исходя только из равновесно- § 2. Устойчивость
327
го решения, можно судить о том, будет ли соответствующая конфигурация устойчивой.
Для этого необходимо воспользоваться следующей теоремой
11-31.
Теорема 1. Звезда, состоящая из идеальной жидкости и имеющая постоянные химический состав и энтропию на нуклон, может перейти из устойчивого состояния в неустойчивое относительно некоторой частной радиальной нормальной моды, только если величина центральной плотности р (0) такова, что равновесная лнергия E и число нуклонов N стационарны, т. е.
дЕ (р (0); »,...) -dp (0)
аЛГ(р(0); ...) -dp (0)
Под «радиальной» нормальной модой подразумевается такая мода осцилляции, в которой плотность возмущений бр есть функция только г и і и в которой ядерные реакции, вязкость, теплопровод-кость и передача лучистой энергии не играют роли.
Доказательство теоремы начнем с замечания о том, что дисси-пативные силы здесь отсутствуют, поэтому динамические уравнения инвариантны относительно обращения времени и задают квадраты частот Wn2 разных нормальных колебаний в виде действительных функций от р(0), как в случае колебаний, которые возникают в электрической цепи без омического сопротивления. Для каждой частоты соп2 > 0 существуют две устойчивые моды. Для каждого (оп2 < 0 существуют две моды, из которых одна :>кспоненциально спадает, а другая экспоненциально растет соответственно как exp (— I CO7, 11) и exp (+ | con 11). Таким образом, переход от стабильности к нестабильности происходит только при значении р (0), для которого о)п2 равно нулю.
Рассмотрим значение р (0), для которого одна из частот соп почти равна нулю. Пройдет много времени, пока осцилляции или экспоненциальное возрастание не переведут равновесную конфигурацию в некоторую близкую конфигурацию р (г) -f бр (г). Этот процесс происходит очень медленно, а потому р (г) + бр (г) должна быть также почти равновесной конфигурацией. В отсутствие ядерных реакций новая конфигурация будет иметь тот же постоянный в объеме химический состав, что и старая. Если отсутствует вязкость, теплопроводность или передача лучистой энергии, то новая конфигурация будет иметь то же количество ;штропии на нуклон, что и прежняя конфигурация. Более того, законы сохранения энергии и числа частиц требуют, чтобы новая конфигурация имела ту же энергию E и барионное число N, что її раньше. Однако бр (0) не может обращаться в нуль, поскольку 328
