Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
А. Звезды при абсолютном нуле. Когда звезда полностью исчерпала свое термоядерное топливо, она может стать белым карликом (§ 3 гл. 11) или нейтронной звездой (§ 4 гл. 11), в которых температура практически равна абсолютному нулю. Тогда, согласно теореме Нернста, энтропия, приходящаяся на один нуклон, будет равна нулю во всей звезде.
Б. Звезды в состоянии конвективного равновесия. Если наиболее действенным механизмом передачи энергии внутри звезды является конвекция, то в равновесии энтропия, приходящаяся на один нуклон, должна быть почти постоянной во всей звезде, ибо в противном случае малый элемент среды, содержащий А нуклонов, будет приобретать или терять энергию AAsIT при переходе от одной части звезды к другой, и конвекция будет нарушать распределение энергии. Сверхтяжелые звезды, обсуждаемые в § 5 гл. И, обычно считаются находящимися в конвективном равновесии.
Будем считать также, что звезды, которые мы рассматриваем, имеют постоянный химический состав повсюду внутри звезды.
ВаЛчНОСТЬ принятых предположений состоит в том, что в общем случае давление р можно выразить как функцию плотности р, § 1. Дифференциальные уравнения для звездных структур 323
энтропии на один нуклон s и химического состава. Следовательно, если S и химический состав постоянны повсюду в звезде, то р (г) можно считать функцией только от р (г) без явной зависимости от г.
Задавая р (г) как функцию р (р (г)), рассмотрим два дифференциальных уравнения первого порядка для р (г) и оМ (г). Одно из них —это уравнение (11.1.13), а другое получается дифференцированием уравнения (11.1.12):
еМ' (г) = 4я/-2р (г). (11.1.144
Кроме того, из (11.1.12) следует начальное условие
s/M (0) = 0. (11.1.15)
Уравнения (11.1.13) —(11.1.15) вместе с уравнением состояния, задающим р (р), смогут служить для определения р (/•), (г), р (г) и т. д. повсюду в звезде, как только будет задано второе начальное условие, т. е. величина р (0). Дифференциальные уравнения (11.1.13) и (11.1.14) необходимо проинтегрировать от центра звезды до некоторого радиуса г = R внутри звезды, в которой P (р (г)) становится равным нулю. Расстояние от центра звезды до R мы будем рассматривать как радиус звезды с центральной плотностью р (0).
Вернемся к вычислению метрики. Определив P (г), оМ (г) и и р (г), можно с помощью (11.1.11) немедленно получить А (г); чтобы найти В (г), используем уравнение (11.1.13), позволяющее переписать (11.1.8) в виде
в' 20 Г // I / ч т Г* 2G?M 1-і
-g- = —[а// + 4лг3р]| 1--— J .
Решение этого уравнения при условии, что /?(оо) = 1, имезт вид
OO
В (г) =ехр { - j Щ. VM (r') + 4яr'*p (r')] |"1 -^Д!]"1 dr' }
Г
(11.1.16)
Таким образом, решение найдено. [Кстати, у нас нет необходимости использовать отдельно уравнения (11.1.5) и (11.1.7) для Rrr и Rn. поскольку эти уравнения следуют из уравнений (11.1.6), (11.1.8) и (11.1.9), которые уже применялись в наших вычислениях. Это не является неожиданным, поскольку уравнение (11.1.8) как раз и является уравнением сохранения импульса, которое выводится с помощью тож'деств Бианки из уравнений Эйнштейна (11.1.5) — (11.1.7).]
Вые звезды р (г) и р (г) обращаются в нуль, a oitl (г) становится постоянным, Jl(R); поэтому из соотношений (11.1.11) и (11.1.16) следует
В (г) = Л-' (/•) = ! — 20"їїг (Д) для г>Д. (11.1.17)
21* 324
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Из обсуждения, проведенного в § 2 гл. 8, следует, что постоянная вМ (R), появляющаяся в асимптотическом гравитационном поле
(11.1.17), должна быть равна массе звезды М, определяемой как полная энергия звезды и ее гравитационного поля, т. е.
R
M = Л (Д)=з J 4яг2р (г) dr. (11.1.18)
о
Таким образом, (11.1.17) является просто внешним решением Шварцшильда.
Может показаться парадоксальным, что M, которое должно содержать энергию гравитационного поля, задается выражением
(11.1.18) в виде интеграла от плотности энергии только вещества (включая излучение). Выход состоит в том, что (11.1.18) не утверждает, что M есть полная энергия вещества. Полная энергия вещества отнюдь не является вполне определенной величиной, но ее все же можно вычислить, разбивая звезду на имеющие малый объем элементы, энергия которых измеряется в локально-инерциальной системе отсчета; это дает энергию вещества в виде
R
-^вещества ^= j VgpdrdQdj,= j 4jtr2 VА (г) В (г) р (г) dr. (11.1.19)
о
Разность между (11.1.18) и (11.1.19) можно считать энергией гравитационного поля. Однако такое разбиение не является особенно полезным и не будет использоваться ниже.
Гораздо большую информацию можно извлечь, сравнивая выражение (11.1.18) с энергией M0, которую вещество звезды имело бы, будучи «измельченным до бесконечности». Эта величина есть просто
M0 = maN, (11.1.20)
где /?гн = 1,66-IO"24 г —масса покоя нуклона, a N —число нуклонов в звезде. Число нуклонов определяется как
R
N = j VgJllOdrdQd^= j 4я7-2 VA (г) В (г) Jhо (г) dr, (11.1.21)
о
где — сохраняющийся ток числа нуклонов. Удобно выразить /н° через собственную плотность числа нуклонов п, т. е. плотность числа нуклонов, измеренную в локально-инерциаль-ной системе, связанной со звездой. Величина п определяется так:
