Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
равновесная конфигурация полностью определена (для данного химического состава и заданного s) величиной р (0); если же бр(0) равно нулю, то бр (г) обращается в нуль для всех г и нормальная мода отсутствует. Таким образом, в точке перехода от устойчивости к неустойчивости существует близкая равновесная конфигурация с отличным от прежнего значением р(0), но с теми же однородными распределениями энтропии на нуклон и химического состава и с теми же E и N. Именно это и требовалось доказать.
Эта теорема особенно полезна, поскольку часто только на основании качественных аргументов можно показать, что равновесная конфигурация является устойчивой для достаточно малых (или больших) р (0) или неустойчивой для достаточно больших (или малых) р(0); теорема указывает точно, где возникает переход от устойчивости к неустойчивости. В качестве примера такого качественного рассмотрения полезно переформулировать основные уравнения, описывающие строение звезды, на основе вариационного принципа (см. книгу [1], гл. 3).
Теорема 2. Данная звездная конфигурация с однородными распределениями энтропии на нуклон и химического состава будет удовлетворять уравнениям (11.1.12), (11.1.13), выведенным при условии равновесия, в том и только в том случае, если величина М, определяемая формулой
устойчива по отношению ко всем вариациям р (г), оставляющим неизменной величину
и не меняющим энтропию на нуклон и однородность химического состава. [Совершенно ясно, что если энтропия на нуклон и химический состав фиксированы, то из уравнения состояния можно определить как р (г), так и га (г) в виде функций от р (г). Равновесие устойчиво по отношению к радиальным колебаниям тогда и только тогда, когда величина M, или, что то же, Е, имеет минимум по отношению ко всем таким вариациям.
Чтобы доказать эту теорему, используем метод множителей Лагранжа (см., например, [4]): M будет стационарным по отношению ко всем вариациям, оставляющим N фиксированным, в том и только в том случае, если существует константа К, для которой M — KN стационарно по отношению ко всем вариациям. В общем случае для заданной вариации бр (г) изменение M — ^запишется в виде
W=J 4nr*n(r) [і
2GgM (г)
dr § 2. Устойчивость
32»
т — XbN = j 4яг2бр (г) dr = о
OO
= X ^nr* [i-2^iy1'2 6n(r)dr-О
OO
- XG J 4*г [1 - „ (,) (,) dr.
о
(Интегрирование проводится до бесконечности только из соображений удобства записи; в действительности же подынтегральные выражения исчезают вне радиуса R-\-bR.) По предположению, эти вариации не меняют энтропию на нуклон. Поэтому имеем
«Ш+'6HrH-
и, следовательно,
бп (г) = . , ¦ бр (г).
w pW+PW w Также справедлива формула
г
бoM(r)= j 4ш-'2бр (r')dr'.
о
Изменяя порядок интегрирования в последнем члене, получаем
ЬМ— XbN= Ї Anr2 {1--WD П 2С^(г) -[-'/._
J I р И + р (г) L г J
о
OO
-XG j Anr'п (r') dr' } бр (Г) dr.
T
Таким образом, бM — XbN будет обращаться в нуль для всех fip (г) тогда и только тогда, когда
1 _ п (г) г. 2 Gr,M(r) -[-Vz
_ P (г)+ р (г) L г J +
OO
+ G j Anr'п (r') [I-2a^yshdr'.
T
Это будет справедливо для некоторого значения множителя Лагранжа X в том и только в том случае, если правая часть послед- 330
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
него соотношения не будет зависеть ОТ Г, Т. е. если ( п' п(р' + р'П YЛ 2G-.flyV*
I р+р (P+P)2 /L г J ^
Gn / /|Ягр ] [l 2GcMy3/2
p+p
Условие однородности распределения энтропии, приходящейся на один нуклон, приводит к равенству
»'М
и, следовательно,
" (г) P' (г) P (г) + P (Г) •
Таким образом, бM обращается в нуль для всех бр (г), которые дают бN = 0, тогда и только тогда, когда верно соотношение
- ,V = G [ 1 - -^J"1 Lp + р] [ Ji + 4лг*р] ,
что и требовалось доказать.
Если член в бМ, имеющий второй порядок по бр (г), положительно определен для всех возмущений, то, для того чтобы породить какое-либо возмущение, необходимо подводить энергию, т. е. звезда будет устойчивой. Если же для некоторого возмущения бр (г) величина бM может во втором порядке быть отрицательной, то с увеличением кинетической энергии это возмущение будет расти и звезда станет неустойчивой.
§ 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики
Большинство звезд правильно описываются ньютоновской физикой без учета эффектов общей теории относительности. Такие ньютоновские звезды заслуживают нашего внимания, во-первых, потому, что они представляют собой предельные случаи более экзотических объектов, интересных с точки зрения общей теории относительности, и, во-вторых, их изучение позволяет нам понять качественные свойства указанных объектов.
В ньютоновской астрофизике внутренняя энергия и давление много меньше плотности массы покоя, т. е.
е тнп, р тип, (11.3.1) § 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики 331
поэтому полная плотность в основном определяется плотностью массы покоя, а именно
р жтнп. (11.3.2)
Кроме того, выполняются соотношения
р^ р, 4лг3т] < Л. Далее, гравитационный потенциал мал везде, т. е.
