Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
= 1(2,71406) M0 (-ВВ- )1/2, (11.4.9)
^ V Ркр /
65375,(-^)(?)^
-(3,65375) Я, (?)'", (11.4.10)
где Ркр теперь дается выражением (11.4.3).
Для р (0) р„р нейтроны, находящиеся вблизи центра звезды, имеют kF тп, так что выражения (11.4.1) и (11.4.2) приводят к формулам
P =
Зркр / hp \5 Ркр / kF
тп ) ' р- 4 I^Tj
' 4
и, следовательно,
P = I-, (11.4.11)
как и следовало ожидать для газа крайне релятивистских частиц. Используя это уравнение состояния в основном дифференциальном уравнении (11.1.13), получаем
- гУ (г) = Ы (г) P (г) [1 + 4?^] [ 1 - Щ^Х - (И -4.12)
Удивительно, что в этом случае можно найти точное решение этого уравнения [161:
(11'4"13)
соответствующее пределу р (0) оо. Однако даже в этом пределе бесконечной центральной плотности это р (г) оказывается ниже р0 при радиусе г порядка R0, так что уравнение состояния (11.4.11) оказывается несправедливым для внешних слоев любой нейтронной звезды. Чтобы рассмотреть оболочку из нерелятивистских нейтронов, необходимо решить полное уравнение (11.1.13), используя уравнение состояния (11.4.4); условие бесконечной центральной плотности при г R0 накладывается выражением (11.4.13). Мы не будем заниматься этим здесь; важным для нас следствием является лишь то, что решение имеет конечный радиус R, при котором р исчезает, и масса М, находящаяся внутри этого радиуса, конечна, поскольку сингулярность в выражении (11.4.13) при г = 0 интегрируемая. Таким образом, масса 346
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
запретить ?-распад нейтронов. Чтобы получить представление о химическом составе нейтронной звезды, рассмотрим равновесие между нейтронами, протонами и электронами. Плотность энергии и плотность числа частиц каждого из трех таких ферми-газов даются (для і = п, р, е) формулами
hF. і _
Р« = »Г J VP+ mt2 Pdk, (11.4.18)
о
hp' ' і з
8л Г ,о „ к.
j k2dk = -^. (И.4.19)
' " (2яй)3
о
В любой данной точке звезды реакции п р Ar е v и р + е —Yl jT v могут приводить к превращению нейтронов в протоны и наоборот (нейтрино при этом покидают звезду). В этих реакциях сохраняется плотность полного числа барионов
Yin + пр = пв (фиксировано), (11.4.20)
и система остается все время электрически нейтральной:
Yiv-Yie = 0. (11.4.21)
Но когда пв сохраняется, плотность полной энергии может выражаться только через величину Yln, т. е.
il
P = Pt1 + Pc- + Pp = ЗС~3 I j Vk2 + mjk2dk +
о
C[nB-nn]V3 _
+ j Yk2 + mp2k2dk + 0
+ j Vk2 + m2k2dk} , (11.4.22) о
где
C = (Зл2й3)1/3.
Когда эта функция имеет минимум, достигается химическое равновесие. Условие равновесия имеет вид
= (C2YlJI 3 + тп2)1/2 - (С2 [пв - Ylnf3 + YH12Yh -
-(С2[пв-пп]Уз + т2)1,2=0. § 4. Нейтронные звезды
347
Можно разрешить это уравнение относительно величины пТ = = пв — пп как функции от пп 2(mn*-m* — mei)
1 +
+
C2«n2/a
1-
CW3
(™п2- Wp2)2-2mc2 + + me* 3/z
, _CW_I
І 1+
Разность масс нуклонов Q = mn — mp и масса электрона me сравнимы по величине и много меньше /W71, а потому этот результат можно записать гораздо проще:
{ 4Qt Ркр \2/з 4(Q* — TOg2) / Ркр \Уз ч 3/2 + mn \ тппп )_т% \ тппп } I
/_Ркр_\2/з Г ' (11-4-^)
\ "InIln J )
тДе Ркр = тп/С3 — критическая плотность, определенная выше выражением (11.4.3).
Условие, при котором нейтроны стабильны относительно ?-распада, требует, чтобы фермиевское море электронов было заполнено вплоть до импульса, который превышает максимальный импульс /сМанс электрона, испускаемого в ?-распаде нейтрона:
кР,е>кмаке, (11.4.24)
где
к,
Uml-m2)2-2me2 « + то2р) + те4]1/2
2тп
A [(?2-We2Iv2= 1,19 МэВ. (11.4.25)
Импульс Ферми определяется с помощью соотношений (11.4.19) и (11.4.21):
2/з / np \ 2/з
Ркр '
/cfr е = CW3 = C2TipVз = тп2 ()2/з (^L \2
' Ркр ' v пп I
M Pm / \ Ркр /
(11.4.26)
І тп'гп \2/з і ! V Ркр /
Он имеет наименьшее значение при пп = 0, когда Zci,, е в точности равно значению kM?ll<c. Поэтому условие стабильности нейтрона относительно ?-распада (11.4.24) действительно выполняется для любой положительной плотности нейтронов. 348
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Отношение плотностей нейтронов и протонов (11.4.23) велико
и падает при очень малых нейтронных плотностях, достигая минимума при пптп, равной переходной плотности
Pt « Ркр [A(Q2~re2) ]3/4= 1 >28- IO-4Pkp, (11.4.27)
где
,»Р\ ( Q+ i (Q2-^lf* у/2
("^~)мин~ V--J =0'002' (11'4'28)
а затем возрастает монотонно, достигая значения V8 для пптп
ркр. Звезды, имеющие центральную плотность, несколько меньшую, чем переходная (11.4.27), в действительности вообще не являются нейтронными звездами, а соответствуют ветви равновесных решений для крайне плотных белых карликов, и, следовательно, не стабильны (§ 3 гл. 11). Таким образом, мы ожидаем, что должна быть некоторая минимальная центральная плотность порядка рт и некоторая минимальная масса порядка 3Mq (рт/ркр)1/2^ «О,ОЗЛ/0 [см. выражение (11.4.9)], ниже которых стабильных нейтронных звезд не может быть. Подробные вычисления [11 показывают, что минимальная масса нейтронной звезды в действительности равна примерно 0,2Mq.
