Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вейнберг С. -> "Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности" -> 117

Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.

Вейнберг С. Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности — М.: Мир, 1975. — 695 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyaikosmologiya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 254 >> Следующая


335

Используя drlr2 = —d(l/r), проинтегрируем (11.3.27) по частям. В результате получим

я

у=., з (JLzlJ {^-2 j AnrGJf (г) P (г) dr} = ^ о

Решая это уравнение относительно V, получаем формулу

(11.3.24). Чтобы вычислить Т, подставим выражение (11.3.8) в (11.3.26), откуда находим

V =_3(v-l) Т. (11.3.28)

Из соотношений (11.3.24) и (11.3.28) легко получить нужную формулу (11.3.23).

Соотношения (11.3.17) и (11.3.19) показывают, что число нуклонов N пропорционально р (0)(3v~4)/2, а выражение для внутренней энергии E ~ р (O)C5V-6)/2 следует из выражений

(11.3.25), (11.3.16) и (11.3.17). Таким образом, производные dN/dр (0) и дЕ/др (0) никогда не обращаются одновременно в нуль. Из теоремы 1, доказанной в предыдущем параграфе, следует, что каждая политропа будет для всех р (0) устойчивой либо неустойчивой в зависимости от значения у. Какие же это значения у?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к теореме 2 предыдущего параграфа, утверждающей, что звезда будет устойчивой в том и только в том случае, когда E минимально при всех вариациях р (г), не меняющих N (и уравнение состояния). Интуиция подсказывает, что первая возникающая неустойчивость соответствует однородному взрыву всей звезды, и поскольку МЫ Iia вопрос об устойчивости по отношению к этой моде хотим только получить ответ «да» или «пет», мы можем надеяться получить его, рассмотрев пробную конфигурацию, когда р (г) постоянно (подробное обсуждение вопроса стабильности звезд дано в [8,9]х)). В любой такой конфигурации выражения (11.3.19), (11.3.21), (11.3.22) и (11.3.8) примут вид

iV = ^-Pi?3, (11.3.29)

T = (11.3.30)

V = —Gp2Rb. (11.3.31)

Релятивистские эффекты рассмотрены в работе [9]. 336

Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс

Исключая из этих соотношений R, получаем

E = T+ V = apv-1—Ьр1'», (И.3.32)

где

* =7?". (И.З.ЗЗ)

Ъ = Ц^)У*ОМъ!\ (11.3.34)

Для у>4/з энергия E будет минимальной при значении

_ / b ^!/(v-v3) (m^g(іп/3)1'» ... oo=v

Р~ [ За (Y-I) ) 5К ) ' I11-d^)

соответствующем конфигурации устойчивого равновесия. Для у = = 4/3 энергия E не будет зависеть от р, если E всюду обращается в нуль, что обеспечивает равенство а = Ъ, или

М=(ЦL)3/2(i?L)-1/2 (И.3.36)

Для у < 4/3 величина E имеет максимум в точке, задаваемой (11.3.35), соответствующий состоянию неустойчивого равновесия.

Кстати, с помощью соотношения (11.3.35) можно оценить значение массы

«»^-'»(Sr

и сравнить его с точным результатом (11.3.17). Отношение этих двух формул для M имеет вид

M (вариацион.) (15 (7 — 1)/у)3/2 M (точное) = 3si2|e'(li)| '

Для у = 5/3 это отношение равно 1,8; для у = 4Z3 оно равно 1,2. Таким образом, видно, что вариационный ,метод не только дает верную зависимость M от р (включая и то, что при у = 4/3 величина M не зависит от р, a E обращается в нуль), но и приводит к приближенному результату, чрезвычайно близкому к точному численному результату. Мы принимаем в качестве достоверного предсказание вариационного метода, что политропа устойчива или неустойчива в зависимости от того, будет ли у >4/'з или у < 4/з [8, 9].

Вариационный подход дает также простой метод оценки частоты колебаний для расширения или сжатия звезды. Из соотношений (11.3.29) —(11.3.31) для фиксированных N следует, что

T-R3 V~R-\

Используем результаты (11.3.23) и (11.3.24) для того, чтобы задать правильные значения T я V при равновесном радиусе (который мы будем записывать сейчас как /?ра8П, чтобы отличать § 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики 337

его от мгновенного значення радиуса осциллирующей конфигурации). Это даст нам

Е=1 m ff* R^-4fa*l GMrn-K

(5т-6) A<,4a-H3v) Sy-6

Для у > 4/3 эта величина имеет минимум при R = і?равн> как и должно быть. Для R, близких К Травні' E ВЄДЄТ Себя СЛЄДУЮЩИМ образом:

F і 3 (V-I) (Зу—4) GAf2 2

? ^Para "Т 2(5Y —6) Лравн3 ^ ~ равн' *

Однородное расширение сферы с однородной плотностью отвечает кинетической энергии:

V =-Jq MR1,

поэтому условие сохранения энергии U^-E = const приводит к такой моде:

R — йравн ~ Sin Ш,

CO0

5 (у —1) (Зу—4) GM* -|1/2

5у —6 -йравн3

] . (11.3.37)

И наконец, заметим, что однородная сфера, вращающаяся с угловой скоростью Q, имеет кинетическую энергию, равную

U = ^ MR^QK

Эта величина должна быть меньше, чем энергия связи (—Е), поэтому максимальная угловая скорость, с которой звезда может вращаться, имеет порядок

о __Г 5 (Зу — 4) GM -]!/»_ CO0 q

"Ma,t0~ L (57-6) wJ ^VT=T"

Конечно, вращающаяся с такой скоростью звезда перестает быть сферической, так что с помощью (11.3.38) можно оценить только порядок величины истинной максимальной частоты вращения.

Применим теперь эти сведения к звездам, известным под названием белых карликов. Представим себе старую звезду, которая исчерпала свое ядерное топливо и начала охлаждаться и сжиматься. Когда температура ее станет достаточно низкой (ниже мы укажем, что значит «достаточно низкой»), электроны будут заморожены на низшем разрешенном энергетическом уровне. Принцип Паули утверждает, что на каждом уровне могут находиться только два электрона (поскольку имеются два спиновых состояния) и в единице объема существует 4я&2 (2nh)~sdk уровней с импульсами, лежащими в интервале к, к + die. Поэтому число электронов на единицу объема связано следующим образом
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed